ep103

在准备特训课时，我领悟到了这个世界数学最根本的局限性。

这个世界的数学是静默的。

绘制魔法阵所需的几何学与商业所需的复杂算术。他们对于测量和描述『静止』的事物已经相当熟练。

但也仅此而已。他们能测量箭矢的大小，却无法描述飞行箭矢划出的抛物线轨迹。

为什么呢？是因为尚未感受到必要性吗？

那固然是原因之一，但最根本的原因只有一个。

『完美坐标系的缺失。』

当然，类似坐标的东西是存在的。比如制作地图或设计城郭时使用的网格。

但那不过是根据需要记录临时位置的简单标记法，并非旨在将代数学与几何学统一起来。简而言之，缺乏绝对基准且粗糙不堪。

回想起来，前世的情况也颇为相似。

近代初期。在笛卡尔提出我们熟悉的坐标平面提案之前，代数与几何几乎互不侵犯各自的领域。

一个是图形的世界。

另一个是公式的世界。

由于没有连接这两个世界的桥梁，变化的现象仍停留在直觉、经验和哲学的领域。

但当那座桥梁架起的瞬间，一切都改变了。

公式化为图形，图形化为公式的魔法。

『这就是笛卡尔坐标系被视为近代数学决定性起点的原因。』

而在这伟大统合的背后，还等待着真正的革命。

正是微积分学。

将静默的数学转变为动态学问的伟大思维转换。

或许这是理所当然的。

然而。

而且我相信。

不知为何，她紧紧闭着双眼，用手掌死死捂住自己的耳朵。

＂温柔可亲的塔莎似乎要解开他们的疑惑，用完全平方式在黑板上行云流水地写下证明过程。

「不是0却和0没两样？」

通往微积分的道路狭窄而陡峭。要想正确引导，必须先扎实地铺垫好基础概念。

但将这种自然现象用数字和符号表达的想法，对这个世界的人们而言却是相当新颖的视角。

虽然偶尔有人混用，但方程与函数是截然不同的概念。

＊＊＊

「斜率不是只有直线才有吗？」

项目的名称好像是基于无量纲数和模型法则的核心魔力暴走倾向性分析…来着。

「抱歉。您特意用图形表示公式的原因是…那个理由…」

在完成简单的术语和符号说明后，她将函数框架设为第一道关卡。

即便她如此热情，仍无法填补知识的鸿沟。

从工程数学到被称为四大力学的动力学、流体力学、热力学、材料力学…我们学习的几乎所有学科语言都是用微积分写就的。毕竟世间几乎所有自然现象，最终都以微积分方程的形式被描述，想来也是理所当然。

幸运的是她颇有自信。毕竟数学是她的强项，大学时还通过补习班兼职锻炼过。

不过是从1变成2的程度而已吧？

「好，那我们进入下一步。正式分析图像性质。这里最重要的概念就是斜率。这条曲线上某一点的斜率究竟是多少呢？」

但函数却截然不同。

当塔莎在黑板上写下公式时，学生们的手突然停滞了一瞬。

塔莎绝非没有耐心。

-瑟瑟发抖…

——咚！

因为这无异于主张世界是由数字构成的。

「不是指正而是提问…为什么非得把公式用图形表示出来呢？」

为什么会这样呢。

「…就是练习！」

比如考虑到魔力具有频率与振动数的波动性质时，是否可以通过傅里叶变换将那复杂的波动分解分析为简单波形的合成呢？

像这样根据过往先例预测未来，本是司空见惯的事。

学生们双眼闪闪发亮地集中听讲。当场直接向她提问的人也不少，其中教授们的占比相当高。

「今天的课就到这里。下次特训课定在两天后，会比今天提前两小时开始。」

「二次函数的图像会画出这样美丽的抛物线。」

「…无限趋近？」

塔莎吭哧吭哧地从地板上抱起一叠纸条堆成的塔：

「好，那么接下来我们开始学习二次函数。」

就在她准备立即回答时。

当时确实也听到过什么输入啊输出啊函数之类的讨论。

那么魔法现象会是例外吗？

「当然是为了复习。考虑到这些数学概念对你们而言相当陌生，每次特训课前都会安排复习上次内容。还要讲解作业呢。」

「那么想象把这条曲线无限放大。是不是几乎接近直线了呢？」

塔莎盯着那景象看了一会儿，很快又把注意力转回提问上。

塔莎像是赞许这是个好问题般点了点头。

「…怎么回事。」

「所谓函数，就是根据特定输入值导出对应输出值的一种法则。」

那时候因为太忙乱，根本顾不上理解，只是按塔莎说的机械地打点。没想到他们缩减睡眠时间拼命完成的那项艰苦工作，竟然遵循着这样的原理和理论。

领悟了微积分的魔法师们，会不会正式尝试用数值模型来模拟他们所使用的魔法与魔力现象呢？

「说『和0没两样』在严格意义上是错误的。」

「我们要求这个『近似直线』的斜率，就要用到让两点间距离无限趋近于0的概念。这叫做极限。」

但看似会永远持续的热情，随着塔莎的宣告迎来了新局面。

我个人认为微积分与牛顿运动定律并列为人类最高的智慧成就。

「这叫做图表。」

他们充满自信。

砰地放在讲台上。

莫名有种奇妙的感觉。

塔莎的视线捕捉到了坐在最前排的圣女塞莉娜。

「然后我们要把这个法则画在名为坐标平面的平面上。」

听起来简直是理所当然的事。

她画出像从抛物线截取下来般的直线后继续说道：

当塔莎像之前一样在坐标平面上描点连线时，点与点真的连接成流畅曲线。学生们边临摹抛物线边等待塔莎的下句话。

「…嗯？」

与『世界由魔力构成』的普遍观点实在相差太远了。

两叠、三叠、四叠。

为什么解个方程需要这么丑陋的公式啊？

往篮子里放入4个苹果后，篮中苹果变成了5个。那么原先篮子里有几个苹果？

塔莎并非母狮。

「对。虽然不是0，但可以看作无限接近0的状态。」

刚入门的新生菜鸟们怎么可能一蹴而就理解这些呢？

接着在那上面用虚线添加了网格纹路，开始逐个点出硕大的圆点。随着点与点之间的距离逐渐缩小，最终连成了一条直线。

当然，这也都在预料之中。

二次函数？

「数学…」

「到这里为止有什么指正或提问吗？」

「…？」

「而要求这条抛物线的x截距——即图像与x轴的交点——我们可以使用求根公式这个非常便利的工具。」

「接下来我们要这样表示函数。刚才商人的例子可以这样表达：」

「假设有个商人总是用3枚铜币收购1个苹果。那么只要知道苹果树上结了多少苹果，我们就能预测未来能获得多少铜币。只要商人不改变主意，这个法则就会永远有效。」

打个比方。方程就像某种谜题。

她在黑板上写下两个简洁的公式。

这话的意思是，她没打算鲁莽地把学生们推下微积分这座悬崖。

塞伦学院的才子们，定能跨越我将展示的知识门槛。

每当学生提问，她都会认真详细地解答。她认为理解原理才是接近数学的真谛。

这还不是全部。

他们并非第一次听到「图表」这个词。去年暑假，为了启动贝尔迪亚魔法阵而在塔莎手下打杂时就接触过。

「……」

「我选择微积分作为第一堂课的主题，正是出于这样的背景。」

就是从这时候开始的。

塔莎再次举例说明。

——咚！咚！咚！

塔莎的课继续进行着。

正因方程与财产确认、金钱交易等日常生活密切相关，对这个世界的人们而言也并非陌生概念。

几个学生的面容上开始浮现阴霾。

她在公式旁边画了两条相互交叉的直线。

「提、提前两小时？为什么…」

看到蜻蜓低飞就预知要下雨。通过江水水位预测河流泛滥。

「到底用了多大力气啊，连身体细微的颤抖都看得一清二楚。」

「函数最大的特征就在于它的法则性。」

看到这里，几名研究生猛地打了个寒颤。

——咚！

用x+4=5来表示的，正是方程。

只要是理工科大学生。尤其是像我这样的工科生，不可能不明白微积分的重要性。

疑问接二连三地冒出来。

塔莎脑海中的数学，自笛卡尔坐标系问世以来，历经数百年无数天才的积累成果。

…最后是第五叠。

「呼…每人离开时领三十张。」

「……」

「下节课我们将探讨抛物线斜率的含义，并研究物体做抛物线运动时实际受到的力。大家辛苦了。」

望着塔莎灿烂的笑容与山一般堆积的作业，教室里的众人不约而同产生了相同的念头。

…现在退课还来得及吗。