正文
《數學少女》 · 結城浩 · 11.7萬 字
序章
不可以只是記憶。
不可以無法回憶。
——小林秀雄
我無法忘記。
我無法忘記在高中時代一起研究數學的女孩們。
用優雅的解法震撼人心的才女，米爾迦。
認真提出疑問的活潑少女，蒂蒂。
每當想起那段時光，心中就會浮現出數學公式，並跟着展開活絡的思維。數學公式超越時間，向我展現歐幾里得、高斯、以及尤拉等數學家的靈光一閃。
——數學是超越時間的。
藉由閱讀數學公式，我品嚐着從前數學家體會過的感動。即使這已在數百年前就被證明完畢也無所謂，現在的我確實地擁有完成這些邏輯的快感。
——用數學超越時間。
就有如深入叢林找出隱藏的寶藏。數學是個令人興奮的遊戲，以最佳的解法爲目標，這是智力的競賽。數學，是令人心悸的戰鬥。
那時候，我開始使用名爲數學的武器——但是這武器卻巨大到難以控制，就像無法控制自己的年少輕狂，就像無法控制對她們的深深思念。
不可以只是記憶。
不可以無法回憶。
一切的開端，是在高一的那年春天……
第1章數列與規律
一、二、三。三即是一。
一、二、三。三即是二。
少女無言地點點頭，食指依然指着我。
同時我也注意到爲什麼米爾迦在出「6，2，8，2」的問題時，沒有隻說6，2，8，2，而是說到6，2，8，2，10，18的原因了。若是隻說6，2，8，2的話，解答就不一定只有π各分位數乘上2這種可能性，還有其它更簡單的解答，例如6，2，8，2，10，……自然也有可能像下面的數列一樣，也就是每個偶數項中插入N的數列。
我稍微瞄了一下。櫻花樹下的少女仍然站在樹旁，並用相當認真的表情看着我，就連頭髮沾上櫻花也不以爲意。看到她這種認真的態度，這果然是測驗嗎？
少女又伸手指向我。
1．1在櫻花樹下
這樣的說詞會讓大家目瞪口呆吧。
『1，1，2，3，……』
校長的演講不斷誘導我進入夢鄉，我推了推眼鏡，忍住哈欠。
又是四個數字。
米爾迦。
但是少女卻搖搖頭，露出一副「真拿你沒辦法」的表情。風使她的長髮飛舞，也令櫻花飄落。
……我是這麼想的。
不知爲何，我的腦海裏已經揮不去她的身影。
於是我也抬頭看着櫻花樹，昏暗的天色映入眼簾。
16＝2×2×2×2＝244的倍數
少女繼續發問：
少女閉上了眼，接着像要仰望櫻花樹般抬起頭，她的食指不斷地在空中比劃。
唸了四個數字之後，少女闔上嘴並指向我，似乎是在對我說：『你，就是你。請回答下一個數字是什麼？』
※※6153577
1．3數列謎題沒有正確解答
這個問題必須熟記圓周率3.141592653……否則就無法解答，不靠記憶根本無法解答。（JoyJ：有記憶又有什麼用……咱怎麼也是個能背過圓周率前一百位的人，可是想了那麼半天不還是無解麼……）
——大島弓子『綿の國星』
然後她看向這裏。
我纔剛說完，少女的眼睛就爲之一亮，還露出些微的笑容。這是我第一次看見她的微笑。
女孩。
0;要我回答？1;
她露出滿足表情的同時走到我的面前伸出一隻手。她的手指相當細長。
「再過來是4，12，10，6，……還真是個過分的難題。」我說。
一開始的問題是1，1，2，3，5，8，11，……這是斐波那契數列。在1、1之後，將前面兩數相加形成下一個數。
「一、一、二、三。」
也就是『質數×下一個質數』。11×13的計算錯誤是我的敗筆，被米爾迦明確地說出『計算錯誤』還真是不堪。
記憶。
0;要握手嗎？1;
她大概是新生。也跟我一樣是偷跑出來的嗎？
「我喜歡數學。興趣是推演算式，請各位多多指教。」
「米爾迦，爲什麼那時候你要出數列謎題呢？」我問道。
我將眼鏡放在書桌上，接着閉上眼回想與米爾迦的對話。
17＝17質數
「1，4，27，256再來是3125吧。再來……我沒辦法用心算。」
『不過你不是也解出來了？』
一陣風吹來，飛舞的櫻花將少女圍繞住。
她用清楚的發音念出：
我喜歡夜晚。家人沉睡後就是我的自由時間。沒有任何人會打擾的世界，在那裏只有我一人，攤開書本、探索世界、進入數學的叢林裏，發現稀有的動物、清澈的湖水、雄壯的巨木，並與無法想象的美麗花朵邂逅……
這問題還頗難的，我努力讓頭腦運轉。6與15是3的倍數，但是35卻不是，而35與77是7的倍數……要是能寫在紙上的話，或許就能迅速解開了。
——高一那年春天。
→3，1，4，1，5，9，2，6，5，3，……各分位
開學典禮那天陽光普照。
我喜歡數學，是因爲比起記憶東西，我更喜歡思考。數學並不是要喚起陳舊的記憶，而是要拓展新的發現。記憶性的東西就只能死記，像是人名、地名、單字、元素表，沒有第二種方法。但是數學不同，給予問題的條件，就像將材料和道具準備好放在桌上，勝負的關鍵不是記憶，而是思考。
也就是說一般項爲n
，4<4次方>或5<5次方>還好，不過6<6次方>的話我就無法心算了。
「1，4，27，256，3125，46656，……」她的聲音十分清晰。
少女看向我。
※※62821018
我的手也指向自己。
少女將手心朝向我，這是停止的手勢。
這時，一棵格外巨大的櫻花樹出現在我的眼前。
『6，15，35，77，……』
※※1427256
嗯，原來如此，我懂了。
※※1123
這次是六個數，我稍微想了一下，最後的18真讓人頭痛，要是2的話就好了，這題看起來很像無意義的數字組合……不對……全都是偶數嗎？……我懂了！（JoyJ：讀者不必糾結，這個數列絕對是沒有任何一個人類能懂的……劇情需要，劇情需要）
計算錯誤……唔……的確如此，11×13＝143纔對，並不是133。
6，2，8，2，10，2，12，2，……
她有一副高挑的身材以及烏黑的長髮。
緊閉嘴脣的臉上戴着金屬框的眼鏡。
2×3，3×5，5×7，7×11，11×13，……
「美麗的櫻花盛開……每個人都跑出了嶄新的一步……在這傳統的校舍裏……努力地讀書跑跳……少年易老學難成……」
我現在15歲。15，16，17……畢業的時候就18歲了，會經過一個4的倍數，還有一個質數。
這次是另一個問題，一樣是四個數字。
再來6，15，35，77，143，……則是這種規則……
→6，2，8，2，10，18，4，12，10，6，……各分位乘上2
「1，1，2，3之後是5，接着是8，再來是13，然後是21，接下來的數字是……」
這裏是圖書室，打開的窗戶吹進清爽的風，而窗外是一片梧桐樹綠，遠方還傳來棒球社練習的聲音……
15＝3×5
米爾迦是在考慮到這個問題之後才這樣出題的。
夜晚。
我瞬間就找到了規則。
最後的問題，6，2，8，2，10，18，4，12，10，6……相當的難，因爲這是十進制圓周率π的各分位數乘上2之後組成的數列。
「是嗎？不過你不是也解出來了？」
少女的嘴裏仍然不停地念着數字。雖然她只是輕聲吟詠、做着微小的動作，但是我的目光卻已經離不開這個奇異的女孩。她到底想做什麼？
在春天的陽光下與櫻花飛舞的風中，不遜於這幅風景的她就站在那裏，搖曳的黑髮、有如指揮家般細長的手指，以及那雙溫暖的手與淡淡的香味。
這就是我與米爾迦的邂逅。
「那時候？」她停止計算並抬起頭。
算了，頂多和國中時一樣靜靜地聽課，然後獨自在圖書室裏度過推演算式的三年吧。
這是怎麼回事？爲什麼走在櫻花樹道的我必須要玩這種猜數字的遊戲呢？唔……答案是……
下一個問題是1，4，27，256，3125，46656，……解法則是……
「我是米爾迦，請多指教指數。」
一位少女正站在樹旁仰望着這棵櫻花樹。
開學典禮結束後，回到教室的途中，我悄悄地離開校舍，一腳踏進了並排的櫻花樹道，漫步在周圍沒有任何人的路上。
「計算錯誤。」女孩的手指碰了碰眼鏡。
1<1次方>，2<平方>，3<立方>，4<4次方>，5<5次方>，6<6次方>，……
我在搞不清楚的狀況下和她握了手，她有雙柔順而且溫暖的手。
她預測出我有辦法解答，還露出滿足的表情。
『1，4，27，256，……』
米爾迦。
「我知道了。」
18＝2×3×3＝2×32
這是測驗嗎？
明明只是第一次見面，卻談了奇怪話題的怪人。我想她一定很喜歡數學吧，在完全沒有任何說明的情況下，就突然進行起如同測驗般的數學問答。我合格了嗎？我回想起跟她的握手，那是非常柔軟的手；還回想起些微的香味，那是淡淡的女孩香。
現在教室裏的其它同學應該正在做自我介紹吧。我最不擅長自我介紹了，到底要說出什麼樣的自己呢？
但是，或許沒有那麼單純。
π＝3.141592653……圓周率
「6，15，35，77之後是133。」我不自覺地提高音量。
少女皺了皺眉。她對回答『沒辦法用心算』的我搖搖頭，然後將答案告訴我。
1，1，1＋1＝2，1＋2＝3，2＋3＝5，3＋5＝8，5＋8＝13，……
1．2自家
現在是五月。
對新學校、新教室、新同學的新鮮感逐漸淡化，我回到了平淡無奇的日常作息。
我沒有參加任何社團，也就是所謂的回家社。話雖如此，放學後的我並不會立刻回家。在最後的班會結束後，爲了能獨自推演算式，我通常會前往圖書室。
就和國中時一樣，我沒有參加社團，而是放學後在圖書室0;國中稱爲圖書間1;看書，或是看看窗外的綠色，抑或是預習與複習功課。
其中最喜歡的還是推演算式。將課堂上出現過的公式在筆記本上重新組合、將原本的定義還原、重新導出公式、將定義變形、設想實例、品嚐變換定理的樂趣、思考證明方式……我喜歡將這些東西記在筆記本上頭。
不擅長運動、也沒有可以一起玩的朋友的我，最大的樂趣就是一個人而對筆記本的時候。雖然寫出算式的是我，但是並不是隨便怎麼寫都可以，而是有一定的規則。有規則就算一種遊戲，沒有比這更嚴密、更自由的遊戲了，這是歷史上的數學家們挑戰過的遊戲，只有一支自動鉛筆、一本筆記本和我的腦袋就能進行的遊戲，我樂此不疲。
所以即使成爲高中生，我也同樣地享受一個人在圖書室的樂趣。
但是，事實與原本的期望有些不同。
那就是到圖書室的學生不只有我一個。
米爾迦。
她與我同班，而且她每三天會在放學後到圖書室一次。
每當我一個人計算的時候，她會將自動鉛筆從我的手中抽出，然後擅自在筆記本上寫字，先說明一下，這本筆記本是我的，該說她旁若無人還是自由自在呢？
不過我也不討厭她這樣做，她表現出的數學雖然困難，但是有趣、刺激，而且……
「你說那時候，是指什麼時候？」米爾迦咬着0;我的1;自動鉛筆回問着。
「就是第一次見面的時候，在櫻花樹下……」
「啊，那個啊。沒什麼理由，只是剛好想到罷了。怎麼突然問我這個？」
「沒什麼，突然想到而已。」
「喜歡那種謎題嗎？」
「應該不算討厭。」
「喔，那你知道『數列謎題沒有正確解答』這句話嗎？」
「米爾迦……差不多該走了吧！」
「我、我想和學長談一談，可是又不知道該怎麼辦。我朋友說在這裏的話會比較方便，所以……」
「用心算？」我把信放回口袋。
我的心裏只有你
「譬如1，2，3，4，你認爲接下來是什麼？」米爾迦說道。
「嗯～～除了一開始的1以外，出現的都是2和3的倍數，不過變小的部分就不太瞭解。」
米爾迦把筆還給我並朝入口的女孩走去。在要走出圖書室之前，她轉頭向我說：
「是嗎？那要給你幾個數纔可以呢？假如數列一直無限延伸的話，要提示到第幾個纔夠呢？」
2．2心算問題
蒂德菈
「11個，1024的因子有11個。」
「對不起。找你出來……這個……」
「啊，這個……學長你很有名喔。我……那個……」
2<0次方>3<0次方>＝1，2<1次方>3<0次方>＝2，2<0次方>3<1次方>＝3，……
※※1，2，3，4，6，9，8，12，18，27，……
1024＝2<10次方>＝2×2×2×2×2×2×2×2×2×2——2有10個
她的身高比我矮很多，也沒有看過的印象，大概是剛入學的新生。我急忙將信收入門袋並向教室走去。
「原來如此。」
口袋裏的信不斷在課堂中動搖着我的心。
「算了……你說想談談有關數學不拿手的事情，可以說明得再詳細一點嗎？」
「這是要使用n來表達因數和的算式嗎？」我問。
「什麼意思？」
之前米爾迦說過『不曉得之後會發生什麼事』，的確沒錯，今天未必和昨天一模一樣。
等一下，1024的因子……能整除1024的數，1可以，2可以，3不行，1024不能被3整除，4的話可以。啊，對了！1024是2的10次方……我急急忙忙地計算。
原來她叫做蒂德菈啊，摩諾=迪=德莉=蒂德菈，跟我同所國中、小我一屆的學妹。不過我完全沒印象，不擅長數學的學生確實很多，尤其是新生。
這時候圖書室的門口突然傳來呼喚她的聲音。
我不顧被打斷話題、明顯露出不愉快表情的米爾迦，快速地走出教室。
對於我的回答，米爾迦點了點頭。「答對了，那麼下一個問題。將1024的因數全部加起來的和是……」
放學後在大型教室見面啊。
2<立方>3<0次方>，2<平方>3<1次方>，2<1次方>3<平方>，2<0次方>3<立方>——指數的和是3
「你要去圖書室嗎？」米爾迦的眼鏡閃了一下。
「不，只要寫出求的過程就好了。」
打斷她出題真的很抱歉，1024的因子的和啊……我邊走向屋頂邊思考答案。
「咦？我還是不太清楚。0次方是1，所以……
「1，2，3，4，6，9，再來應該會更大吧，不過正好相反。9的下一個是比較小的8，原本覺得會越來越大的數列現在卻反過來了，你能看出它的規律嗎？」
「啊，好的，謝謝您……我從小學開始就覺得數學的問題很有趣。但是進國中後，不管是上課還是看課本，都常常覺得『無法完全理解』。到高中之後，老師又說數學很重要，要好好學習，所以纔想要解決『無法完全理解』這個問題。」
……先不管這些，這封信還是像聯絡事情用的嘛……雖然有點失望，不過算了，這樣也好。（JoyJ：==你在期待什麼……）
「嗯～～好像知道又好像不知道。」
「請、請收下這個。」
「我已經看了這封信了。但是不好意思，我不太記得你。」
確實就像一個數列，不過……」
2<平方>3<0次方>，2<1次方>3<1次方>，2<0次方>3<平方>——指數的和是2
非常抱歉在您忙碌的時候打擾了，希望能有機會與您商談。今天放學後我會在大型教室裏等您。
現在是午休時間，正想把女孩的信拿出來的時候，米爾迦邊咬着巧克力棒邊走到我的身旁問問題。由於沒有換班，所以我和米爾迦二年級仍然同班。
「當然是5吧。1，2，3，4，5……這樣下去。」
※※米爾迦出的回家作業
「然而，這並不是一定的。例如1，2，3，4，然後在這裏突然增到10，20，30，40，再增加到100，200，300，400……這樣也算是一種數列。」
2．5大型教室
「2047。」我立刻回答，1024所以因數的和就是2047。
她向我伸出的兩手中有一封白色的信，我糊里糊塗地收下信，這個女孩向我行個禮後，就往校舍的方向跑走。
「嗯～～寫出指數了還是不懂嗎？那像這樣呢？」
我接着說：「1024的因子一定能整除1024，所以因子一定是2n×n從1到10，所以1024的因數爲以下11個。」
「說到2與3的倍數……」米爾迦說到一半。
假加世界上只有兩個質數？
2<0次方>3<0次方>，2<1次方>3<0次方>，2<0次方>3<1次方>，2<平方>3<0次方>，2<1次方>3<1次方>，2<0次方>3<平方>，2<立方>3<0次方>，2<平方>3<1次方>，2<1次方>3<平方>，2<0次方>3<立方>，……
「這是心算問題。1024的因子有幾個？」
第2章名爲算式的情書
「找機會再跟你討論『假如世界上只有兩個質數』的有趣話題吧。」
（JoyJ：所以又是一道純粹噁心人的題目……）
2<0次方>，2<1次方>，2<平方>，2<立方>，2<4次方>，2<5次方>，2<6次方>，2<7次方>，2<8次方>，2<9次方>，2<10次方>
「1024用質因子分解的話就是2的10次方，所以1024就會像這樣分解。」我說。
這個大型教室必須從主校區繞過小小的中庭才能到達，主要在物理和化學課時使用。教室由階梯構成，最下階是講臺，這是爲了讓學生方便看清楚教室實驗操作的配置。
2<0次方>3<0次方>——指數的和是0
2<1次方>3<0次方>，2<0次方>3<1次方>——指數的和是1
「大概……那明天見。」
「那樣太卑鄙了。開始只說四個數，然後之後纔出現『在這裏突然增加』之類的。誰能預測到1，2，3，4之後會是10啊？」
「世界上的事不就是這麼一回事嗎？不曉得之後會發生什麼事、與原先預測的不同……那麼，你能解出這個數列的一般項嗎？」
這又是怎麼回事？
「是因爲思考時間充裕吧。」
請說明一正整數n，求其「因數和」的方法爲何？
她留下我一個人離開了圖書室。
「不，這個的話……」
米爾迦一邊說，一邊將數列寫在筆記本上。
我和蒂蒂坐在最後一排的長椅上，我從口袋中拿出今天早上的信。
雖然我對數學有興趣，不過國中的上課內容就讓我很喫力。聽說進高中之後數學會更深，很希望能解決這個問題。
升上高二，不過只是學年標誌從I變成II，今天仍舊和昨天一樣沒有變化……在早上之前我是這麼認爲的。
「不，今天大概不會去了，突然有點事。」
「米爾迦，抱歉。中午我有點事，晚點再聊……」我說完之後站了起來。
上次收到女生的信是在小學的時候，那時我感冒請假休息，身爲班長的女孩將作業以及「大家都在等你，要快點好起來回學校上課喔！」的信送到家裏……只是單純的聯絡事項。
「而且，爲什麼你會認識我啊？我在國中時應該不怎麼顯眼纔對。」沒參加社團、放學後只到圖書間的人應該不會引人注目。
信封裏裝着白色的信紙，上面是用鋼筆橫寫的娟秀字體。
「原來如此。所以就是因爲有『無法完全理解』的問題，你的成績也不是很好囉？」
「像這樣的話就可以說明了。」
「啊，今天是練習的日子嗎？」
「……算出來了嗎？」
即使是午休，屋頂上還是沒什麼人，是因爲天氣不太好的關係吧。
「像這樣以2和3的指數來思考的話，就可以看出結構了。」
「……你所謂的『數列謎題沒有正確解答』就是這個意思嗎？提示的數之後有可能突然改變規律。不過，在1，2，3，4後面突然接10的話，以問題來說未免太沒意義了。」
「正確答案，怎麼算的？」米爾迦一邊舔着拿巧克力的手指一邊等我回答。
結束了一天的課程，在我前往大型教室的途中，米爾迦突然問。
2．3信
她的右手立刻在臉前左右搖晃。
2．1校門口
「沒關係，我也覺得你不會記得我的。」
「我數到10之前回答。0，1，2，3……」
「1，2，3，4之後應該是5吧。可是不是5而是6，在少數樣本中規則沒有出現，也就是說看不到規律。」
一秩尾望都『ラーギニー』
我將這封信讀了四次。
「嗯。」
剛進大型教室，就看到蒂蒂一個人緊張地等着，胸前還抱着筆記本和鉛筆盒。
「喔……這樣的話，就出個回家作業吧。」
「……9，10，時間到。幾個？」
在陰天的四月底，升高二後經過一個月的早上，我在校門口被一個女孩叫住。
2．4放學後
我是今年入學的蒂德菈，是跟學長就讀同所國中、小你一屆的學妹。因爲想跟學長討論關於數學的事，所以寫了這封信。
蒂蒂邊將食指指甲放在嘴脣上邊思考，擁有一頭短髮、靈活滾動雙眼的蒂德菈給人的感覺像是活潑的小動物松鼠或是小貓之類的。
「像段考之類有一定範圍的考試，就不會有太大的問題。但是像模擬考，有時候就會考得很差，中間會有蠻大的落差。」
「上課呢？上課的時候聽得懂嗎？」
「上課啊……老師教的時候好像都聽懂了。」
但是卻無法完全理解？
「是啊，無法完全理解。多多少少能解題，上課也好像聽得懂。可是實際上卻沒有完全理解。」
2．5．1質數的定義
「那麼我再問得更具體一點，你知道質數嗎？」
「……嗯，應該知道。」
「應該知道啊……那你說說看質數的定義，就是回答『什麼是質數』。不需要用算式，用自己的說法表達就可以了。」
「什麼是質數？嗯～～像5或7之類的嗎？」
「嗯，5和7都是質數沒錯——但是5和7都只是質數的一個例子。「舉例」和「定義」並不一樣。什麼是質數？」
「啊，好的。質數就是……『只有1和自己本身能整除自己的數』吧，這是數學老師叫我們一定要記起來的定義。」蒂蒂點點頭說。
「也就是說，你認爲這個定義是正確的？」
『當正整數p只能被1與p整除時，p爲質數』0;？1;
「嗯，我覺得這是正確的。」
「不，這定義是錯的。」
「咦？假如拿5當例子的話，只有1和5可以整除啊。」
「嗯，5是質數沒錯。但是照這個定義的話，1也會變成質數了。因爲當p用1代入時，p只能被1與p整除這點是符合的，但是1並不包含在質數之內。最小的質數是2，將質數由小到大排列，會像下面的數列一樣從2開始。」
2，3，5，7，11，13，17，19，……
「是的。這就是質因子分解的唯一性無法成立的例子。」
啊～～嚇到我了，我還以爲蒂蒂會心電感應。
「那麼『把負的變成正的』呢？」
「那麼進入數學的語言——算式的話題吧。因爲要用到黑板，我們到下面去。」
『當正整數p只能被1與p整除時，p爲質數，但1除外。」
「質因數分解的唯一性？唯一性是什麼？」
「但是與其說『很多種』，不如用『複數個』或『2個以上』的方式表現。這是因爲……」
『整數p＞1，當p只能被1與p整除時，p爲質數。』
||＝－0;＜0的情況1;
「咦？」蒂蒂看向我。
「不對，假如＝－3的話呢？」
「知道什麼！？」
到了車站。
「嗯～～爲什麼說『吧』？必須確定自己是否理解纔行。」我特別強調了『自己』。
「rationale？」
＝|3|所以－0;－31;＝3
「嗯，應該知道。5的絕對值是5，－5的絕對值也是5，去掉負號就好了吧。」
.
||＝0;≥0的情況1;
「因爲我等一下還要到書店去，就在這裏說再見了。對了，傘先借你吧。」
這似乎是我第一次跟女孩子共撐一把傘，我們漫步在柔和的春雨之中，雖然我有點不習慣，不過還是配合着她的步調漸漸地沉穩下來，或許是這陣雨吸收了城市的喧囂，街道一片靜寂。
我繼續說下去：「所以前面的定義是錯的，質數的定義應該如下面所寫……」
※※的絕對值||的定義
|－|
蒂蒂突然睜開眼睛，然後站了起來。
.
「是啊，因爲前而並沒有任何符號表示，所以通常不會想到會等於－3之類的負數，但是這卻很重要。特別使用就是表示即使不用很多實例來說明，也可以具體地定義絕對值。『絕對值就是把負號拿掉』這種說法太過籠統，必須更進一步地確認纔行，或許你可能會覺得在挑毛病，不過嚴密的思考是必要的，習慣這種嚴密的思考就能習慣算式，甚至是數學也說不定。」
聽着我的說明、看着黑板上的式子，蒂蒂細細思索。
「嗯，今天就先到這裏爲止吧，天色也漸漸暗了，接下來的下次再講解。」
1×2×2×2×3
剛走出校舍門口的蒂蒂望向天空，烏雲密佈的天空開始下雨。
今天跟她聊了一段時間，感覺很愉快，我也沒想到竟然會有個崇拜自己的可愛學妹，和蒂蒂聊天很輕鬆，從她的表情就可以知道她有沒有聽懂。
蒂蒂在最前排找了個座位坐下，她一邊用手指撥弄筆記本邊緣，一邊沉思。
「唔，懂了……吧。」
「啊……抱歉。爲什麼質數不能包含1呢？很簡單，是因爲質因子分解的唯一性。」
「啊，就到這裏嗎？呃……這個……」
「是……是啊，後悔過去的事也沒用。邁向未來就好了……謝謝你，學長。」
「就是正當的理由、原理的說明、理論的根據。」
蒂蒂被樓梯絆倒，撞向我的背後，在兩個人快要跌倒的時候，我總算站穩腳步，真危險。
「嗯，從這裏轉彎、穿過住宅區會比較快到車站。」
「要怎麼確定自己是否理解了呢？」
2×2×2×3
「……我說你啊。」
「『把負號拿掉』以數學來講是很曖昧的說法。雖然能夠理解意思，也大致上符合定義。」
「或是從一開始就定下條件。」
「這樣到車站前就會淋溼了。反正順路，而且我的傘也夠大，一起走吧。」
『p爲大於1的整數，當正整數p只能被1與p整除時，p爲質數。』
「爲什麼學長會知道呢？」
「好的！」
「……那麼接下來，你知道絕對值嗎？」我們面向黑板並排站着。
「例如舉個適當的例子來確定是否理解了。『舉例是理解的試金石』。雖然舉例並非定義，但是適當地舉例也是一種很好的練習。」
＝3最後|3|＝3
.
「學長……我似乎也要先整理一下我的腦袋纔行了。關於『定義』、『舉例』、『質數』、『質因子分解』、『唯一性』……還有嚴密的表達，在數學裏用詞也是很重要呢！」
爲了要遵守這個性質？因爲這個原因就可以擅自定義嗎？」
「啊……這樣表示的話，我就想到問題了。既然是的絕對值，把負號拿掉還出現不是很奇怪嗎？」
「算式……」
「……因爲比較嚴密？」蒂蒂馬上接下去。
1×1×2×2×2×3
「假如像你說的|－|＝的話，＝－3時，就會變成|－|＝－3.可是實際上是|－|＝3，所以纔會變成|－|＝－。」
|－|＝|－0;－31;|因爲＝－3
「因爲今天談到的論題，也就是質數和絕對值的部分，我也曾經抱持疑問。讀數學的時候，爲不懂的地方感到困擾、在想了好久、讀了很多書之後，才發現『啊，原來如此！』這是相當不錯的體驗，在累積這些體驗後，會漸漸對數學產生興趣，進而變得拿手。啊，在前面轉彎吧。」
『舉例若質數包含1，則質因子分解的唯一性無法成立』
「原來是這樣。假如質數包含1，則24的質因子分解，就會像這樣有很多種……」
「唉呀，下雨了。」
「條件用算式也可以。」
蒂蒂突然拾起頭。
「沒錯！你很聰明。在數學裏語言是很重要的。要儘可能避免誤會，所以數學纔會使用嚴密的用語，而其中最嚴密的語言就是算式。」
2．6回家的路上
「不好意思……謝謝學長。」
「沒錯，『很多種』這種表達方式並不嚴密。幾個以上算是很多？這樣界線就很模糊。」
「沒……沒什麼事情。那傘我就收下了，明天我會還你的，今天真謝謝你。」
「我知道了，質數不包含1。不過我還是不能認同，爲什麼質數不能包含1呢？包含進去會有什麼不合理的地方嗎？我不懂質數不能包含1的rationale。」
「轉彎。是『TheBendintheRoad』吧……從這條路也能到車站嗎？」
她深深地嘆了一口氣，表現出一副很失望的樣子。
「對……對不起。」
「你沒帶傘嗎？」
「啊！原來如此，也有可能是負的，這種狀況的話，負負就會得正，我看到就不自覺地想到3或5之類的正數了。」
「嗯～～那麼我寫出的絕對值定義，你覺得這樣可以接受嗎？」我在黑板上列式。
咦？蒂蒂的速度突然慢了下來，是我走太快了嗎？果然要配合步調不太容易。
「怎麼說？」
「嗯？」
「所謂質因數分解的唯一性就是指一正整數n的質因子分解只有一種。例如說24的質因子分解只有2×2×2×3一種。啊，在這裏不考慮數字的排列順序，像2×2×3×2或3×2×2×2之類，雖然順序不同仍然視爲同樣的質因子分解。質因子分解的唯一性在數學裏是相當重要的，爲了要遵守這個性質，所以就定義1不能爲質數。」
我的話讓蒂蒂鬆了一口氣，
「嗯，我放學後大部分都會待在圖書室，假如你有什麼想問的，到那裏找我就可以了，蒂蒂。」
「我的國中生活好像都浪費了。」
「可以的。雖然說擅自有點誇張……數學家會找出對構成數學世界有用的數學概念，然後將它命名，這就是定義。將概念清楚地規定下來，就能勉強算是定義了。但是，可以定義和這個定義能不能派上用場又是兩回事。在你的定義裏，質數包含1，會使質因子分解的唯一性消失。話說回來，你懂質因子分解的唯一性了嗎？」
「1不是質數啊。的確，老師好像也是這樣教的，我能懂學長寫的定義了。但是……」
「咦？＝－3的話……」蒂蒂也在黑板上演算。
她的眼中一瞬間浮現光輝，很高興地露出微笑。
而我則在等待她的發言。
「會比較快到嗎？」
「哇！」
「是啊，早上從這裏走也會比較快喔。」
「一樣很曖昧。那麼－的絕對值是什麼？」我在黑板上寫下式子。
喔～～這女孩也知道認同理由的重要性啊。
我走向大型教室的前方，蒂蒂則跟在後面，纔剛走幾步就聽到一聲」啊！」接着我的背後感受到一陣衝擊。
「假如你真的這麼想的話，從現在開始不就好了。過去的已經過去了，你是活在現在啊，把現在發現的事情在未來改變就可以了。」
「……學長？」
「就是……就是今天談的那些數學，有關我不懂的部分，爲什麼學長會知道我哪裏不懂呢？」
「雖然有看天氣預報，不過早上出門太趕，所以就忘記了。不過沒關係，只是小雨，用跑的就好了。」
「因爲要把負號去掉，答案是吧。所以說就是|－|＝。」
2．5．2絕對值的定義
「接下來的？」
「我本來覺得我還算用功的。但是我不曾嚴密地讀過課本里面的定義和算式。我的數學一定是念得很鬆散吧。」
蒂蒂將兩手放在前面深深地鞠躬。
2．7自家
夜晚。
我在房間裏回想今天與蒂蒂的互動，她既純真又有衝勁，之後應該會繼續成長吧，要是能讓她知道數學的樂趣就好了。
和蒂蒂說話的時候，我擺出的是教導者的姿態，這與米爾迦說話的時候有很大的不同。米爾迦始終都一直保持主動，或許該說是我一直被教導吧。
拿出米爾迦出的回家作業。竟然被同班同學出回家作業啊……
※※米爾迦的回家作業
請說明一正整數n，求其『因子和』的方法爲何？
這個問題只要把n的全部因子找出來就好了。找出來之後再把它們加起來，就成『因子和』了。但是這種回答未免太過無趣，必須尋找更進一步的答案纔行……嗯，先將整數n質因子分解。
用午休時1024＝2<10次方>的問題將題目稍微廣義化，例如先將n以質數的乘冪表現。
n＝p
p爲質數，m爲正整數
當n＝1024時，上式變成p＝2，m＝10，用同樣的方法思考1024的所有因子如下。
1，p，p<平方>，p<立方>，……，p
所以在n＝p
的狀況下，n的『因子和』求法如下。
0;n的因子和1;＝1＋p＋p<平方>，p<立方>＋……＋p
以上，就能回答整數n＝p
的因子和了。
之後再廣義化……就是這樣，並沒有那麼難，只要用和質因子分解一樣的寫法。
正整數n通常能如下質因子分解，設p，q，r，……爲質數，a，b，c，……爲正整數。
n＝p
×q
×r
……×等一下！
等一下，使用英文字母的話無法做廣義性的表現，假如指數部分用a，b，c，……表示的話，很快就會到達p，q，r……了。這樣會使算式變得混亂。
0;n的因子和1;＝0;1＋p<0>＋p<0><平方>＋p<0><立方>＋……＋p<0>
次方>1;
「原來如此。」
※※米爾迦的解答
隔天米爾迦看到我的答案時很乾脆地下結論。
……既然如此，那就這麼做，質數以p<0>，p<1>，p<2>，……表示，而指數以a<0>，a<1>，a<2>，……a
表示。像這樣以標記0，1，2，3，……，m書寫，雖然算式會變得很複雜，但是可以做廣義性的表現，在這裏m＋1代表『將n質因子分解時質因數的個數』，可以改成這種寫法……
＋1＋p<1>＋p<1><平方>＋p<1><立方>＋……＋p<0>
次方>
0;×1＋p<2>＋p<2><平方>＋p<2><立方>＋……＋p<2>
次方>
p<0>
次方>×p<1>
次方>×p<2>
次方>×……×p
次方>
「對，但是這和圓周率沒關係。∏0;Product1;是∑0;Sum1;的乘法形式。只是剛好積0;Product1;的第一個英文字母P的希臘文字是∏而已，而同樣和0;Sum1;的第一個字母S的布臘文字是Σ一樣，∏的定義式如下。」米爾迦繼續講解。
20;－11;＝2－2這是題目
此時則由以下算式得n的因子和。
「一直都用等號連接，像這樣無論代入任何數，等式都必然成立，也就是變成了一連串的恆等式，一步一步地慢慢來，最後就能得到下面這個恆等式。」
「所謂的定義式，可以舉個例子嗎？」
p<0>
次方>×p<1>
次方>×p<2>
次方>×……×p
次方>
b<2>＝0，1，2，3，……，a<2>的其中任一數
「不會，今天要去英英那裏練習，她作出新曲子了。」
0;1－1;0;1＋＋<平方>＋<立方>＋……＋
1;＝1－
將左式因子分解
將正整數n如下做質因子分解。
「∏是π的大寫……」我說。
「譬如將有點複雜的式子α0;Alpha1;＋β0;Beta1;賦予s這個名字。所謂命名——也就是定義——就像下面的式子。」
＝×＋1×－×1－1×1
要以2<立方>×3<1次方>×7<4次方>……×13<立方>這樣的形式，也就是質數<正整數次方>的乘積書寫。
「這樣一來，你寫的乘冪部分的和就全部變成分數了。然後積的部分就用∏。」
n＝∏
次方>>
2－2－2＋2＝0再將右邊移項
而其中p<0>，p<1>，p<2>，……，p
爲質數，a<0>，a<1>，a<2>，……，a
爲正整數，此時則由以下算式得n的因子和。
「我很喜歡做這個喔，就像做單字本一樣……重新看過課本一次後我才發現，算數和數學有很大的不同點，就是式子裏是否有文字，對吧，學長？」
蒂蒂找到在圖書室算數學的我，並笑着攤開筆記本。
「咦？變成0＝0了。」
0;×1＋p
＋p
<平方>＋p
<立方>＋……＋p
次方>
「有時候可以有時候不行，有時候也必須從敘述中判斷，也就是說，必須去判斷寫這個算式的人到底是想要寫方程式還是恆等式。」
＝<平方>＋－－1
2．9．1方程式與恆等式
……不對不對，這並不是『全部因子的和』，而是因子中按照質因子乘冪排列的數字和。實際的因子應該是像……
0;n的因數和1;＝1＋p<0>＋p<0><平方>＋p<0><立方>＋……＋p<0>
次方>
s＝α＋β定義式的例子
0＝0計算結果
b
＝0，1，2，3，……，a
的其中任一數
「原來如此。」我說。這是等比數列的求和公式。」
＝0
……將質因子的乘冪全部組合之後，挑選出來合併在一起，這纔是正確的和。用語言說明很難理解，就用算式表達吧。
0;×……
「好的，我列式算算看。」
「用∏的話，積的部分就可以簡潔地表示。」她說道。
正整數n可以如下質因子分解，其中p<0>，p<1>，p<2>，……，p
爲質數，a<0>，a<1>，a<2>，……，a
爲正整數。
0;＋11;0;－11;＝0;＋11;×－0;＋11;×1
n＝p<0>
次方>×p<1>
次方>×p<2>
次方>×……×p
次方>
＝<平方>－1
「原、原來如此，之前都沒有注意到這種差別。」
1－
＝1－
兩邊是同一個算式
0;n的因子和1;＝0;1＋p<0>＋p<0><平方>＋p<0><立方>＋……＋p<0>
次方>1;
2．9圖書室
n＝p<0>
次方>×p<1>
次方>×p<2>
次方>×……×p
次方>
還能不能再寫得更簡潔一點呢？……嗯……不過這是答案沒錯。
＋……
∏
=f0;11;×f0;21;×f0;31;×……×f0;m1;定義式
「正確解答，雖然看起來很複雜。」
0;×……
※※米爾迦的回家作業的解答
「學長你看，我從國中的課本里把定義全部抄下來了。這樣我就可以自己練習舉例了。」
「原來如此，雖然變短，不過文字也變多了。話說回來，米爾迦你今天會去圖書室嗎？」我問。
「這一連串的恆等式就是爲了要讓人理解才把算式的變化像慢動作一樣表現，所以不要有『啊，好多算式喔』這種負面想法，一步一步慢慢了解就好……知道了以後來試試看這個算式。」
0;×1＋p<1>＋p<1><平方>＋p<1><立方>＋……＋p<0>
次方>1;
0;×1＋p<2>＋p<2><平方>＋p<2><立方>＋……＋p<2>
次方>
「有辦法一看到算式，就知道它是否爲恆等式嗎？」
其中n爲上述結構時，n的因子則以下列表示。
b<0>＝0，1，2，3，……，a<0>的其中任一數
2．8米爾迦的解答
「嗯，通常是不會注意到的，不過注意一下會比較好，畢竟大部分的公式都是以恆等式的形式出現。」
＝×＋1×－0;＋11;×1
0;×1＋p
＋p
<平方>＋p
<立方>＋……＋p
次方>
蒂幫活潑地舉起手，由於距離很近，即使不用舉手也沒關係，真是個有趣的女孩啊。
b<1>＝0，1，2，3，……，a<1>的其中任一數
<平方>－5＋6＝0;－21;0;－31;
20;－11;＝2－2
1＋＋<平方>＋<立方>＋……＋
＝0;1－
1;/1－
「寫算式的人……」
「喔～～真厲害。」竟然一個晚上就做好了。
1＋＋<平方>＋<立方>＋……＋
＝0;1－
1;/1－兩邊同除1－
「除了方程式與恆等式，還有定義式。當一個複雜的式子出現時，將它賦予一個名字，進而簡化式子，要賦予名字的時候就使用等號，定義式無法像方程式那樣可以解開，也不用像恆等式一樣需要證明，只要自己方便就可以了。」
「啊，有的，答案是＝1吧。」
「學長，我有問題！」
＋1＋p<2>＋p<2><平方>＋p<2><立方>＋……＋p<2>
次方>
0;×1＋p<1>＋p<1><平方>＋p<1><立方>＋……＋p<0>
次方>1;
「方程式與恆等式不一樣嗎？」
－1＝0
＋1＋p
＋p
<平方>＋p
<立方>＋……＋p
次方>0;？1;
其中b<0>，b<1>，b<2>，……，b
爲整數，且符合以下條件。
0;n的因數和1;＝∏
次方>1;/0;1－p
1;>
「不一樣，所謂的方程式是『當代入某數時，此算式成立』，而恆等式則是『無論代入任何數，此算式皆成立』，兩者相當不同，由方程式衍生出來的會是『求出能讓此算式成立的某個數』這種問題，而恆等式衍生出來的則是『此算式是否代入任何數皆成立？』變成要證明是否爲恆等式的問題。」
「……那麼，說到關於文字與數學公式的話題，就來談談方程式與恆等式。蒂蒂有解過這個方程式吧？」
「兩個等號之中，第一個等號構成了恆等式，也就是『<平方>－5＋6＝0;－21;0;－31;對所有皆成立』，而第二個等號則是構成方程式。因此上面這個算式全部代表『用0;－21;0;－31;＝0來代替<平方>－5＋6＝0求解的意思』。」
「可以。」米爾迦立刻回答，「首先，在和的部分可以用下面的式子代替，限定1－≠0的狀況下……」米爾迦一邊回答，一邊在我的筆記本上寫下……
「喔～～原來是要這樣理解啊……」
正整數n質因子分解如下。
……嗯，雖然寫得很完整，但是相當囉唆，簡單來說就是質因子的指數隨着0，1，2，……一直變化就是因子了，通常要廣義化都需要很多的文字敘述。
「有辦法寫得更簡潔嗎？」
2－2＝2－2將左邊展開
而廣義化到這裏，接下來就簡單了，只要把因子全部加在一起就是因數和。
0;＋11;0;－11;＝<平方>－1
「當一個算式在變化的過程中，都算是恆等式，來看看這個算式。」
設pk爲質數，ak爲正整數。
「馬上就可以證明。」米爾迦繼續說。
「實際上20;－11;＝2－2這個算式不是方程式而是恆等式。將左邊的20;－11;展開，就會變成和右邊的2－2一樣。也就是說，無論代入任何數，這個算式都會成立。正因爲它永遠都成立，所以叫做恆等式，更精確的說法是對的恆等式。」
「嗯，這樣－1＝0這個方程式就解開了。那這個方程式呢？」
「學長，到這裏我已經快不行了，爲什麼要用s呢？」
「其實用什麼都可以。只是取個名字，不管是s還是t都行，當你定義s＝α＋β之後，後面要表示α＋β時只要用s來代替就可以，假如善用定義，就能將算式表現得清楚易懂。」
「我知道了，那α和β又是什麼呢？」
「嗯，這是指在別的地方被定義的文字。當寫成s＝α＋β的時候，一般就是指用等號左邊的文字來將等號右邊的算式命名，也就是說，在定義好α和β構成的算式中，可以用s取代。」
「定義式用什麼名字都可以嗎？」
「是的，基本上什麼都可以，但是不能用已經被定義成其它意思的符號。舉例來說，當已經定義s＝α＋β，倘若之後又定義s＝αβ，那閱讀的人就會混亂了。」
「說得也是，這樣就沒有命名的意義了。」
「還有，若是使用常出現的符號，例如圓周率的π或是虛數單位i等等，也會變得很奇怪。當算式中出現新的符號時，先別急，可以先想想『啊，這是不是定義式呢？』。假如文中有出現像，『s定義爲以下……』或是『使α＋β爲s』之類的說明，那就一定是定義式了。」
「原來是這樣……」
「是啊，蒂蒂。這次就試着找出數學的書中含有文字的等式吧，像方程式、定義式，或是其它的式子。」
「好的，我會試試看。」
「數學的書裏有很多的算式，這些算式都是某人爲了傳達自己的想法寫下的，這些算式的背後一定會有傳達這些訊息的某人。」
「傳達訊息的某人……」
2．9．2積的形成與和的形式
「接下來，在閱讀算式的時候，注意算式整體的形式是很重要的。」
「整體的形式？是什麼意思？」
「譬如這個方程式。」
0;－α1;0;－β1;＝0
算式的左邊是乘法，也就是積的形式，一般來說，構成積的每個算式被稱爲因式或因數。
0;－α1;0;－β1;＝0
「蒂蒂，你知道像上述把算式變形稱爲『整合同類項』嗎？」
看着筆記本上的公式，我在心中回答着0;兩倍角公式1;，但是卻沒有出聲。
「的確是這個答案。」
「使用剛纔的恆等式，將方程式變成下面這樣。這就是和的形式的方程式。」
「所謂的因式和因子，跟因式分解有關係嗎？」
「再來試着將0;－α1;0;－β1;展開，你覺得下面這個算式是方程式嗎？」
「那我繼續出題，下一個算式是恆等式呢？還是方程式？」
0;－α1;×0;－β1;＝0使用×的時候
<平方>－5＋6＝0
「我的話語？」
「爲什麼學校的老師沒辦法像學長一樣教得那麼仔細呢？」
sin2θ＝2sinθcosθ
|cosθ－sinθ|
「構成和的每一個式子稱爲項，爲了讓你容易懂，我用括號括起來，就像這樣。」
「我懂了，由於兩數相乘結果爲0，所以其中會有一個爲0。」
「學長讀書的時候碰到不懂的地方會怎麼辦？」
↓
「好的，將『對的一次項』整理過後就變成這樣子了。」
<平方>－0;α＋β1;＋αβ＝00;答案是＝α，β1;
||
「將θ旋轉兩次，然後將算式展開，再來思考『θ旋轉兩次就等於2θ的旋轉』，可以得到兩個關於θ的恆等式。」
↑因式↑
「簡單的二次方程式只要用看的就能解答，例如你比較下面這兩個方程式，是不是長得很像？」
「……啊，好像有『懂的感覺』了，『解方程式』和『做出積的形式』有很大的關係吧？」
蒂蒂的臉上染上了一片紅色。
↑把1次項整合
「是啊，爲了要成爲數學家而仔細地閱讀算式，不只是讀，還要動手寫。我時常都在懷疑自己是否真的理解了，所以我會用寫的確認。」
「是很花時間、非常花時間，不過這是當然的。想想看，在算式背後都有一段歷史，當我們在讀算式的時候，就像是和無數的數學家格鬥，會花時間理解是一定的。當我們展開一道算式，就是超越了幾百年的時光；在我們面對算式時，我們都是個小小的數學家。」
數學的本質是自由。
「是的，把－α或－β這一類帶有的……」
米爾迦戴着金屬框的眼鏡，鏡片上了一層薄薄的藍色，這讓我意識到眼鏡後面那冷靜的瞳孔。
米爾迦拿走我手上的筆，在筆記本的右端用小字寫上兩行式子，同時米爾迦的手也碰到了我的手。
蒂蒂點頭興奮地說：
「項？」
「好的。」
|sinθcosθ|
第3章ω的華爾茲0;無名之聲：這標題太美了1;
「在敘述上，將『其中一個爲0』用『至少會有一個爲0』比較好，因爲有可能兩邊都是0。」
「當我們看到積形式的方程式時，就要想到方程式的解爲＝α，β，而和形式的方程式的解同樣也是＝α，β，畢竟是同樣的方程式。」
她開始擺起教師的姿態，不等我回答就繼續說下去，不過一直以來都是如此。
從左向右轉化：展開
<平方>－α－β＋αβ
說到一半的她急忙用手搗住嘴巴。
「對，也就是說<平方>－5＋6＝0的解，只要找出兩個數相加會等於5，相乘會等於6即可。換句話說，＝2，3。」
「有的，因式分解是將算式分解爲積的形式，質因子分解則是分解成質數的積的形式。通常會將乘法的×號省略，所以下面3個算式的意思是一樣的，都是相同的方程式。」
「沒關係，只是練習。」
「有的，因式分解是將算式分解爲積的形式，質因子分解則是分解成質數的積的形式。通常會將乘法的×號省略，所以下面3個算式的意思是一樣的，都是相同的方程式。」
cos2θ＝cos<平方>θ－sin<平方>θ
今天是期末考結束的日子，我正在圖書室裏推演算式，這時米爾迦進入圖書室，筆直地向我走來。
↑
0;－α1;0;－β1;＝0;<平方>1;＋0;－α1;＋0;－β1;＋0;αβ1;
「嗯～～假如一直讀都不懂的話，就在書上先做個記號，然後繼續往下讀，讀一陣子之後，再回到原先做記號的地方讀一次，再不懂，就再往下讀，或是讀其它的書，反覆來回好幾次，以前我有碰過無論怎麼想都想不出來的算式展開，在經過四天的思考後認爲絕對是它寫錯了，所以我就向出版社詢問，結果真的是印錯了。」
<平方>－0;α＋β1;＋αβ
「這是展開之後整合同類項，對所有皆成立的話……是恆等式。」
「不對不對，這是恆等式。」
「的確很像。α＋β會等於5，αβ會等於6。」
0;－α1;0;－β1;＝0積的形式的方程式
0;－α1;0;－β1;＝<平方>－0;α＋β1;＋αβ
「不是『帶有』，要念成『項』喔。像－α或－β這些只含有一個的項稱爲『對的一次項』或是直接稱爲『一次項』。」
「好厲害……不過像這樣慢慢想不是很花時間嗎？」
蒂蒂認真地聽着我說話，然後像突然想到什麼似說出：
「不知道？這是兩倍角公式啊。」
從右向左轉化：因式分解
「不過這算式還沒經過整理，看起來有點亂，你要怎麼整理呢？」
「嗯。」
0;－α1;×0;－β1;＝0使用×的時候
「好的。」
「正確答案……那麼再往前，首先思考這個方程式吧，這次是積的形式。」
「旋轉？」她站在我身後看着我的記事本。
「假如要推演算式的話，做兩次θ的旋轉就很有趣喔。」米爾迦在我旁邊坐下，並靠近我的耳邊小聲地說，她的θ是用英文zeta發音，從舌頭與齒間擦過的空氣搔着我的耳朵。
0;－α1;0;－β1;＝<平方>－0;α＋β1;＋αβ
|cosθ－sinθ|<平方>|cos<平方>θ－sin<平方>θ－2sinθcosθ|
「然後由於0;－α1;0;－β1;＝0，所以兩個因式之中，至少會有一個等於0，這是因爲積的形式導出來的結論。」
米爾迦站起身，我聞到了淡淡的橘子香。
「啊～～、果然我的心被學長的話語……」
「是的。」
「只要思考軸上的單位V式tor向哪裏移動就能懂了，沒必要記吧。」
「小小的數學家？」
<平方>－0;α＋β1;＋αβ＝0和的形式的方程式0;答案同樣是＝α，β1;
將θ角的旋轉表示在下面的式子。（JoyJ：以下爲詭異內容……一介高中生不懂，請多包涵）
話說回來，蒂蒂在校門口叫住我，就是希望『想跟我談談』。
『將θ角連續旋轉2次』就相當於上式的平方。
0;－α1;0;－β1;＝<平方>－α－β＋αβ
「我知道『整合同類項』，不過之前都沒有特別留意。」
3．1在圖書室
蒂蒂彷彿懷抱夢想似地說出感想。
「很好，展開之後就從積變成和了，左邊是積的2個因式，右邊是和的4個項。」
0;－α1;0;－β1;＝0省略的時候
「因爲我和你是在對話，當你有疑問的時候立刻問我，而我立刻回答，所以纔會覺得比較好懂。因此才能一步一步地向前邁進，不要只是聽老師上課，不懂的地方也可以請教老師……原本回答問題就是老師的專職啊。」
來到夏天。
「學長說的『算式就是語言』，我也感覺到了，在算式的背後有着某人想要傳達給我的訊息，這個某人或許是學校的老師，或許是編寫課本的人，也或許是幾百年前的數學家……不知不覺間就會越來越想讀數學了。」
「將θ角的旋轉表示在下面的式子。」米爾迦說。
「這兩個方程式雖然形狀不同，卻是同樣的方程式，只不過是用恆等式將左邊的算式改變型態而已。」
◎◎◎
「積的形式與和的形式都是算式的形式之一。和的形式＝0有時並不容易解，但是積的形式＝0時就一目瞭然了。」
「啊，『至少會有一個爲0』也是一種嚴密的表現嗎？」
<平方>－0;α＋β1;＋αβ＝0和的形式的方程式
「不……沒事……什麼事情都沒有……」
「沒錯。那麼，當兩邊至少會有一個爲0，就表示－α＝0或－β＝0成立。換句話說，＝α，β就是這個積方程式的解。」
「這是什麼？」
米爾迦看着我說出結論，她的用語常常很直接，而且還有點怪，總是把向量用V式tor表達。（JoyJ：別問我，我也不知道這是什麼東西）
2．10數學公式的背後是誰？
0;－α1;0;－β1;＝0積的形式的方程式0;答案是＝α，β1;
——康托爾
她邊發出了「嗯～～」的聲音邊伸伸懶腰，然後彷彿自言自語地呢喃：
||=| |
|sinθcosθ||2sinθcosθcos<平方>θ－sin<平方>θ|
所以『將θ角連續旋轉2次』可以視爲『旋轉2θ』因此上面的式子就等於下面的式子。
|cos2θ－sin2θ|
||
|sin2θcos2θ|
比較算式的內容，可以得到以下兩個等式。
cos2θ＝cos2θ－sin2θ
sin2θ＝2sinθcosθ
也就是說cos2θ與sin2θ可以用cosθ與sinθ表現，將2θ用θ表示的式子，就稱爲兩倍角公式，將旋轉以算式呈現並重新解釋其中的內容，就可以導出兩倍角公式。
用等號表示『2θ旋轉一次』與『θ旋轉2次』兩者相同，發現兩種姿態其實是同樣的東西時，是一件多美好的事情啊。
◎◎◎
聽着米爾迦說話的同時，我的腦袋在思考着另外一件事情。聰明的女孩，美麗的女孩，當注意到兩者其實是同一個人時，是一件多美好的事情啊。0;無名之聲：專心學你的數學吧，人渣。話說高中就懂等距變換，這人難道是搞數學奧賽的？1;（JoyJ:我求真相，我求等距變換真相==）
然而我仍舊不發一語，默默地聽着米爾迦說話。
3．2振動與旋轉
先不管之前的算式……米爾迦邊說邊在我的筆記本中寫下了這樣的問題。
※※問題3－1
用n表示下列一般項a
。
n01234567……
a
10－1010－10……
「啊，原來如此。就會在菱形……應該說是正方形的頂點間移動啊。」我一邊說一邊在圓上畫線。
嗯，還是完全不懂。
「沒錯。如此一來，數列bn的一般項就可以表示成下面的式子。」米爾迦說。
「單位圓……」
「很簡單啊，數列在1，0，一1之間來回，或是說成振動比較好？」我回答。
n01234567……
「喔，你將點連成這種圖形啊，確實這樣也可以。」
「一般項……也就是說用n表示a
就行了吧。嗯，將狀況分類的話就馬上有答案了。」
cos10;π/21;＋isin10;π/21;
※※問題3－3
a
＝1，0，－1，0，1，0，－1，0，……
n0123……
n012……
「當然不是，你將這個數列當成是振動？」
「嗯，是沒錯，不過這樣就不像振動了。」
a
＝0;π/21;0;n＝0，1，2，3，……1;
cosθ＋isinθ←→0;cosθ，sinθ1;
將數列bn在複數平面上以點來表示，就會出現這樣的圖。
cos00;π/21;＋isin00;π/21;
e
0;－1+<根號3>i1;/20;－1+<根號3>i1;/20;－1+<根號3>i1;/2……
|/|/|/|/|/
「解得出來嗎？」
「θ爲90度……也就是說以每弧度π/2增加就行了，幅角爲θ＝0，π/2，π，3π/2，……也就是說下面四個複數爲圓的四個等分點。」我回答。
bn＝0;π/21;＋isinn0;π/21;0;n＝0，1，2，3，……1;
n012345……
[插圖：平面直角座標系，描出四點0;1，01;，0;0，11;，0;－1，01;，0;0，－11;]
「……」
[插圖：平面直角座標系，描出四點0;1，01;，0;0，11;，0;－1，01;，0;0，－11;，逆時針順次以彎箭頭連接，即0;1，01;→0;0，11;，0;0，11;→0;－1，01;，0;－1，01;→0;0，－11;，0;0，－11;→0;1，01;。最終箭頭構成一個完整的圓形。之後，在此圖下畫實數軸，在0;1，01;、0;－1，01;、0;0，－11;處作三條豎直線段投影到實數軸上]
「這是什麼數列？」我說。
將問題3－2的數列b
用複數的列思考的話，1就是1＋0i，i就是0＋1i。
「本質就是1，0;－1+<根號3>i1;/2，0;－1－<根號3>i1;/2這3個數有什麼意義，雖然就只是這樣，不過你不知道這3個數的話，就從一般調查數列的方法開始。」米爾迦說。
d<0>d<1>d<2>d<3>d<4>……
「從整數到實數的數線，再從數線到複數平面，不斷地思考更高的次元。於是表現就變得簡單明瞭，可以說越簡單明瞭，就越象徵『理解』吧。給予一部分的數列，然後思考下一個數，這並不單只是謎題，而是要探究隱藏在一般項之後的結構。」
「不……算了，先不管這個。這個數列b
在n爲偶數時是＋1或－1，當n爲奇數時爲＋i或－i，這也是振動的一種嗎？」
用n表示下列一般項b
。
「喔～～！！」結果全部都是，我興奮地握着拳頭。
>10;－1+<根號3>i1;/20;－1－3<根號3>i1;/210;－1+<根號3>i1;/20;－1－3<根號3>i1;/2……
米爾迦閉上雙眼，食指左右搖晃。
[插圖：平面直角座標系，描出0;1，01;，在第一象限描出任意一點0;cosθ,sinθ1;。連接0;cosθ,sinθ1;與原點，這條線與軸正半軸所成的角爲“幅角θ”]
「你調查數列的工具就只有等差數列嗎？」她笑着說。
「除此之外還有別的理解方式嗎？」我問。
＋yi←→0;，y1;
「那麼，下個問題。」米爾迦說。
cos30;π/21;＋isin30;π/21;
「喔，原來你是這樣看這個數列的。」
d
＝＋1>－>0;n＝0，1，2，……1;
「不對嗎？」
以c<1>－c<0>，c<2>－c<1>，c<3>－c<2>，……的順序計算求得
「假如我說『1，0;－1+<根號3>i1;/2，0;－1－<根號3>i1;/2這3個數會不斷地重複出現』這種沒意義的答案可以嗎？」我一邊小心注意她的表情一邊回答。
複數數←→點
米爾迦在閉上眼的一瞬間回答。
「咦……爲什麼？」
0;1，01;，0;0，11;，0;－1，01;，0;0，－11;，0;1，01;，0;0，11;，0;－1，01;，0;0，11;，……
[插圖：平面直角座標系，描出四點0;1，01;，0;0，11;，0;－1，01;，0;0，－11;，逆時針順次以彎箭頭連接，即0;1，01;→0;0，11;，0;0，11;→0;－1，01;，0;－1，01;→0;0，－11;，0;0，－11;→0;1，01;。最終箭頭構成一個完整的圓形]
「i是指<根號－1>嗎？」我提出問題。
cos20;π/21;＋isin20;π/21;
「沒錯，是圓，半徑爲1的單位圓，在複數平面上以原點爲中心的單位圓，這是將複數的列表現成單位圓上的點。」
「除了正方形之外還有別的圖形嗎？」我問。
1＋0i，0＋1i，－1＋0i，0－1i，1＋0i，0＋1i，－1＋0i，0－1i，……
「可以用圖形來思考，試着將剛纔bn那四個等分點投影到實數軸，就可以看到振動的樣子，所以說『振動是旋轉的影子』。」
※※解3－1
「知道了嗎？」米爾迦問道，這種時候的米爾迦反而會不可思議地很有耐心，若是解決之道就在眼前的話，她就會一口氣向前衝，但是還在摸索時，她就不會着急。
「用複數平面思考看看吧。複數平面就是軸是實數軸，y軸是虛數軸的座標平面，這樣的話，全部的複數都能在這平面上以點來表現。」
複數數←→點
「……那這個數列的本質是？」
「不，你的想法沒錯，那麼……請將這個『振動』用一般項表現出來。」
a
=00;n=1,5,9…,4k+1,…1;
「是圓……」
「毫無意義的答案。沒解答謎題、沒認清結構、沒抓住本質。」她回答得乾淨利落。
c<0>c<1>c<2>c<3>c<4>c<5>……
「你的腦袋出乎意料地硬呢，這種圖形呢？」米爾迦回答。
「因爲用比例求出來的數都一樣……」
a
=－10;n=2,6,10…,4k+2,…1;
「……還不曉得。」我老實回答。
3．3ω的華爾茲
「唔……對了，θ就是單位向量0;1，01;的旋轉角啊。」
一般調查數列的方法……那就試試看等差數列吧。」我開始在筆記本上寫下。
「數列a
可以有很多種不同的看法，可以當成『單純的整數排列』，或是『在實數的在線振動的點』，以及『在複數平面上旋轉的點』，當你意識到看見的是投影在一次元在線的影子時，你就能想象出在二次元的圓。當意識到所見的是投影時，就能發現更高次元的結構。但是通常並不容易被發覺。」
「將問題3－2的數列視爲將正方形……不……將圓周四等分的點。要如何表現這四個等分點呢？」米爾迦對我說。
是、是……這次換思考e
＝0;＋1>1;/0;>1;的e
數列，由於>不是0，所以不用擔心除數是0。計算結果是……
米爾迦邊說邊指了指自己的眼睛。
「你在驚訝什麼？」
b
1i－1－i1i－1－i……
[插圖：平面直角座標系，描出四點0;1，01;，0;0，11;，0;－1，01;，0;0，－11;，逆時針順次以直箭頭連接，即0;1，01;→0;0，11;，0;0，11;→0;－1，01;，0;－1，01;→0;0，－11;，0;0，－11;→0;1，01;。最終箭頭構成一個完整的菱形]
這個時候的她並不是在輕視我，而是直率地表現出她的驚訝，就像『你真的不知道你右手的手指是五根嗎？』這種訝異的感覺。
「必要的是眼睛，然而不是這個眼睛……」
「除了虛數單位以外還有別的i嗎？」
a
=1 0;n=0,4,8…,4k,…1;
「你說an的1，0，－1是振動吧，其實那個問題也可以用一樣的思考方式解決。」
然而她的驚訝也讓我感到羞愧，不過我將這樣的感情放在一旁，回到數學的話題上。
我說不出話。
「除了差就剩比例了。」我回答。
cosθ＋isinθ
「那就快試試看吧。」
※※解答3－2
「那麼接下來思考這個問題，要怎麼化成一般項呢？」她張開眼睛問着。
「通常單位圓上的點會以這樣的複數來表示。」
用n表示下例一般項>
※※問題3－2
dn0;－3+<根號3>i1;/2－<根號3>i0;3+<根號3>i1;/2－3+<根號3>i1;/2……
對數列>，用以下方法求數列d
。
「然後再回到問題3－1的an。」
「沒錯。我們稱θ爲幅角，複數與點的對應關係就像……」
「嗯，你還不知道嗎？」
「要看穿結構，需要的是心眼。」
「對吧。數列>就是第一項爲1，公比爲0;－1+<根號3>i1;/2的等比數列。實際上1，0;－1+<根號3>i1;/2，0;－1－3<根號3>i1;/2這3個數的3次方都是1喔。也就是說，這3個數都滿足……
<立方>＝1
這個三次方程式。
「滿足<立方>＝1……」
「對，因爲<立方>＝1是三次方程式，所以滿足它的複數根有3個。你知道這個方程式的解嗎？」米爾迦問。
「嗯，應該知道。知道＝1的話，就可以把0;－11;因式分解。」我說。
<立方>＝1問題的方程式。
<立方>－1＝0將1往左邊移項，右邊成爲0。
0;－11;0;<立方>＋＋11;＝0將左邊因式分解。
「然後呢？」米爾迦說。，
「然後再將<立方>＋＋1＝0帶入二次方程式a<立方>＋b＋c＝0的解法公式＝－b±<根號0;b<平方>－4ac>1;就可以解出來了。」我一邊說一邊計算。
＝1，0;－1+<根號3>i1;/2，0;－1－3<根號3>i1;/2
聽到我的說明，米爾迦點了點頭。
「沒錯，現在將複數0;－1+<根號3>i1;/2設爲ω。」
ω＝0;－1+<根號3>i1;/2
「ω<平方>＝0;－1－3<根號3>i1;/2……」
ω<平方>＝0;0;－1－3<根號3>i1;/21;<平方>
＝0;－1－3<根號3>i1;<平方>/2<平方>
＝0;0;－11;<平方>－2<根號3>i+0;<根號3>i1;<平方>1;/4
＝0;1－2<根號3>i－31;/4
「你不是正在θ的旋轉中暢遊嗎？既然是暢遊，就將旋轉的點化成圖形、三角函數與複數數列一起享受不是更好嗎？」
這樣就得到了無窮級數的公式，||＜1是爲了在n→∞時，讓
＋1→0必要條件。
0;1＋1;0;1－1;＝0;1＋1;×1－3;1＋1;×
——葛理翰／柯努斯／巴塔希尼克0;陳衍文譚／儒林出版社1;『具體數學』[21]
＝0;1－<根號3>i1;/2
但是ω＝0;－1+<根號3>i1;/2
「你從發現了單位圓的3個平分點ω<立方>＝1開始，接着發現2π/3的幅角、複數平面上的正三角形，還有ω產生的三拍子旋轉，也在複數平面上看到了1，ω，ω<平方>的三人舞蹈……」
1，ω，ω<平方>，1，ω，ω<平方>，……
米爾迦哼了一聲，還將我手裏的自動鉛筆拿走，在筆記本上不停寫着，然後說：「來尋找規律吧。」
.
接下來將算式0;1＋1;0;1－1;中的0;1＋1;以0;1＋＋<平方>1;代入。
當的絕對值小於1，也就是||＜1時，使n→∞的話，會讓
＋1→0，也就是下式成立。
4．1．4邁向生成函數
「當隸美弗定理中n＝2的時候，就得到了兩倍角公式。」
「喔……出現了正三角形啊。」
＝1＋0;－1;＋0;<平方>－<平方>1;－<立方>
米爾迦此時正好走進圖書室，並直接走近我們，接着她突然踢開蒂蒂的椅子，巨大的聲響讓圖書室裏的人都往我們看過來，蒂蒂慌忙站起身，並被米爾迦瞪着直到她離開圖書室，而我就這樣呆站着目送蒂蒂出去。
「就得到了兩倍角公式。」米爾迦說。
我回答因爲學妹有問題所以教她……
「接下來就繼續朝生成函數前進吧。」
「是啊，思考無窮級數吧。」
＝0;－2－2<根號3>i1;/4
「推演算式？」
＝1＋0;－1;－<平方>
.
2sinθcosθ＝sin2θ虛部
－－<平方>－<立方>－<4次方>
1＋＋<平方>＋<立方>
◎◎◎
0;cos<平方>θ－sin<平方>θ1;＋i×2cosθsinθ＝cos2θ＋isin2θ
到剛纔爲止都是關於『求積的公式』，而現在則是『求和的公式』:實際上，這就是等比數列的求和公式，說得更清楚一點，是第0項爲1，公比爲的等比數列，也就是1，，<平方>，<立方>，……，
，……這個數列從第0項到第n項的和。
無窮級數1＋＋<平方>＋<立方>＋……，被定義爲這個等比數列部分和的極限。
1＋＋<平方>＋<立方>——
「隸美弗定理主張『複數cosθ＋isinθ的n次方會變成複數θ＋isinnθ』。從圖形的觀點來看的話，就是『在單位圓上，θ旋轉n次會等於nθ的旋轉』，你應該能看到在算式的背後有單位圓上的點在旋轉纔對。」米爾迦用手指指着我，並開始繞起圈圈。
>＝ω
0;n＝0，1，2，3，……1;
以後就省略了收斂的條件，首先將剛纔等比級數的無窮級數當成的函數思考。
0;1＋＋<平方>＋<立方>＋<4次方>＋……＋
1;0;1－1;＝1－
＋1
「從週期性聯想到圓是很自然的，從圓中尋找不斷重複的來源也是很自然的，只看到實數線的人會以『振動』表現，而以複數平面觀察的人會注意到『旋轉』，並注意到這隱藏的結構，對吧？」
＝aa＋ba－ab－bb
這是第0項爲1，公比爲的等比級數，且||＜1。
0;cosθ＋isinθ1;
＝θ＋isinnθ隸美弗定理
「之後再將兩邊的實部與虛部用等號連結。」
0;1＋＋<平方>＋<立方>1;0;1－1;＝1－<4次方>
「來尋找規律吧。」最先是0;1＋1;0;1－1;的展開，這是0;a＋b1;0;a－b1;的特殊狀況。
「將1後面乘上ω的話，就會變成這樣的數列。」米爾迦在筆記本上接下去寫。
……我則是回答『會自然想到等比數列的無窮級數吧』，不是到第n項爲止的有限和，而是無限的和。「是啊。」米爾迦微笑着回答我。
1，ω，ω<平方>，ω<立方>，ω<4次方>，ω<5次方>，……
1＋＋<平方>＋<立方>＋<4次方>＋……＋
＝0;1－
1;/0;1－1;
0;1＋＋<平方>＋<立方>＋<4次方>＋……＋
1;0;1－1;＝1－
＋1
我將0;a＋b1;0;a－b1;展開成a<平方>－b<平方>後，向她說明可以把『兩數和與差的積等於兩數平方的差』這公式記下來，而她則是回答「我懂了，聽了學長的教學，感覺原本零碎的知識都整合起來了」這句話。
0;cosθ＋isinθ1;<平方>＝cos2θ＋isin2θ使n＝2
＝1－<立方>
cos<平方>θ－sin<平方>θ＝cos2θ實部
第4章斐波那契數列與生成函數
※※隸美弗定理0;無名之聲：又稱棣莫弗定理1;
4．1．1尋找規律
是使用數列最有力的方法。
米爾迦一口氣把話說完，然後露出笑容。
實部 虛部實部虛部
規律很明顯，中間項都消去了，只剩下三次項和常數項，用筆算的話會更容易理解，例如0;1＋＋2＋31;0;1－1;會變成下列所示，明顯地只剩下兩項。
＝0;1＋＋<平方>1;－0;＋<平方>＋<立方>1;
※※等比數列的無窮級數0;等比級數的公式1;
cos<平方>θ＋i×2cosθsinθ－sin<平方>θ＝cos2θ＋isin2θ將左邊展開
0;cos<平方>θ－sin<平方>θ1;＋i×2cosθsinθ＝cos2θ＋isin2θ將左邊整理
1＋＋<平方>＋<立方>＋<4次方>＋……＋
＝
因爲ω3＝1，所以這個數列又能寫成下面的模樣。
米爾迦似乎很高興。
就我們所知，操作無窮級數來生成數列，
在這裏將兩邊同除1－，由於0不能當除數，所以假設1－≠0。
4．1．3邁向無窮級數
「你看見……ω的華爾茲了嗎？」0;無名之聲：看到了！3/4拍的華爾茲～三步三步地繞圈子～數學絕對是一門美學>。<1;
在這裏爲了要讓此函數的n次係數更明顯，所以將係數寫出來。
[插圖：平面直角座標系，描出四點0;1，01;，0;0，11;，0;－1，01;，0;0，－11;，逆時針順次以彎箭頭連接，即0;1，01;→0;0，11;，0;0，11;→0;－1，01;，0;－1，01;→0;0，－11;，0;0，－11;→0;1，01;。最終箭頭構成一個完整的圓形。之後以直箭頭順次連接0;1，01;，0;－1/2，<根號3>i/21;，0;－1/2，－<根號3>i/21;]
1＋＋<平方>＋<立方>＋……＝1/0;1－1;
0;1＋＋<平方>1;0;1－1;＝1－<立方>
0;a＋b1;0;a－b1;＝0;a＋b1;a－0;a＋b1;b
「那麼，接下來要怎麼發展呢？」
×1－——
米爾迦像沒事一樣扶好椅子坐下，目光瞄向筆記本，然後拉了拉我的袖子要我坐下，等到我坐下後，米爾迦問：
……窗外已經漸漸暗了下來，圖書室裏只剩下我和米爾迦，米爾迦似乎是興致來了，不等我回答就接着說：「接下來就繼續朝生成函數前進吧。」
0;11;0;1－1;＝1－1
1＋＋<平方>＋<立方>＋……
「到這裏爲止已經談過了4平分點與正方形，3平分點與正三角形，再來就是要將他們廣義化，變成n平分點與正n邊形了，這就是隸美弗定理的過程。」
我被米爾迦的氣勢壓倒，完全說不出話來。
4．1．2等比數列的和
將其廣義化，令n爲0以上的數，之後則如下所示。
0;cosθ＋isinθ1;
＝θ＋isinnθ
「簡單來說，1，ω，ω<平方>，，1，ω，ω<平方>，……就等於>。來，將這三個數0;1，ω，ω<平方>1;標在複平面上，快點快點。」
0;1＋＋<平方>1;0;1－1;＝0;1＋＋<平方>1;×1－0;1＋＋<平方>1;×
「到這裏爲止都很普通。」那麼接下來會怎麼進行呢？將剛纔的算式再寫一次。
1－<4次方>
「你不覺得很有趣嗎？左邊是無窮數列的和，有無限個項，而且還無法全部寫出來。可是相對的，右邊卻只有一個分數，無數項的和竟然以一個分數表現就可以了，這不是簡潔到令人愉快嗎？」
現在是高二的秋天，我在放學後圖書室教學妹——蒂蒂數學，目前正在展開一項簡單的算式。
◎◎◎
＝0;1＋1;－0;＋<平方>1;
米爾迦的臉上泛上紅潮，話也跟着變多。
4．1圖書室
.
※※解答3－3
1＋＋<平方>＋<立方>＋……＝1/0;1－1;
◎◎◎
＝1－<平方>
＝a<平方>－b<平方>
……原來如此，不過這並沒有想象中有趣，是很常見的展開與廣義化，比起這個，我更在意剛剛被踢椅子的蒂蒂現在的狀況，米爾迦卻說出『到這裏爲止都很普通』後，就繼續寫下去。
0;1＋1;0;1－1;＝1－<平方>
1<0次方>＋1<1次方>＋1<平方>＋1<立方>＋……
像這樣，各系數就形成了1，1，1，1，……的無窮數列，接下來的對應是……
數列←→函數
1，1，1，1，……←→1＋＋<平方>＋<立方>＋……
也就是說，數列〈1，1，1，1，……〉與1＋＋<平方>＋<立方>＋……函數可以當成是一樣的，由於1＋＋<平方>＋<立方>＋……＝1/0;1－1;，所以將其如下置換。
數列←→函數
1，1，1，1，……←→1/0;1－1;
這種數列與函數的對應可以如下廣義化。
數列←→函數
〈a<0>，a<1>，a<2>，a<3>，……〉←→a<0>＋a<1>＋a<2><平方>＋a<3><立方>＋……
這種與數列對應的函數稱爲生成函數，就是將分散的無數項集合成一個函數，生成函數即是乘冪的無限和，也就是被定義爲冪級數……
◎◎◎
……說到這裏，米爾迦意外地安靜下來，她像在思索似地保持沉默閉上雙眼、緩緩地呼吸。
爲了不打擾她，我只是在一旁靜靜地看着，看着她嘴脣美好的曲線、數列與對應的函數、金屬框的眼鏡、等比數列的無窮級數……以及生成函數。
米爾迦張開雙眼。
「現在是在思考數列與對應的生成函數……吧？」米爾迦以溫柔和緩的聲音說着，」若是能求出生成函數的閉公式，則此閉公式也會與數列對應。」
「所以我稍微想了一下……」她說着說着，聲音也像是在透露不能被別人知道的寶藏場所一樣漸漸變小，並將臉靠近我，可以聞到她身上淡淡的橘子香。
「從現在開始，要在兩個國度間來回奔跑。」米爾迦細語。
爲了不聽漏這些祕密的話語，我豎起耳朵，不過……兩個國度？
「我想抓住數列，但是要直接抓住是很困難的，這時候就要從『數列的國度』到『生成函數的國度』，之後再回到『數列的國度』，這樣或許就能抓到數列……」
那麼，將斐波那契數列對應的生成函數當作F0;1;，也就是說，對應關係如下：
爲了讓此計算式等於/0;1－－<平方>1;，就必須決定r，s，來試着計算看看。
式子A：F0;1;×<平方>＝＋F<0><平方>＋F<1><立方>＋F<2><4次方>＋……
斐波那契數列的性質是什麼？當然是遞推公式F
＝F
＋F
，要好好利用這個公式，F
，F
，這些係數則在F0;1;如下登場。
突如其來的聲音讓我們都嚇了一跳，湊在一起專心討論的我們完全沒有注意到圖書管理員瑞谷老師站在我們身後。
那麼就以典型的斐波那契數列來思考，你知道斐波那契數列吧。
F<0>，F<1>，F<2>，F<3>，……F0;1;
4．2抓住斐波那契數列
F
×<1>＝F
F0;1;＝/0;1－－<平方>1;
式子A＋式子B－式子C
1/0;1+r1;+1/0;1－s1;=某數/0;1－r1;0;1－s1;
將分子也代入參數，也就是說，代入R，S，r，s這4個未知常數形成一列式……
將斐波那契數列的一般項設爲F
F<0>等於0，F<1>等於1，當n≥2時，F
＝Fn－2＋F
，也就是說F
被定義爲一種遞推公式。
現在來看看旅行地圖吧，首先先求與數列對應的生成函數，再來將生成函數變形做出閉公式，然後將閉公式以冪級數展開求取數列的一般項，也就是說，經由生成函數可以發現數列的一般項。
＝F0;1;×0;<平方>＋<1次方>－<0次方>1;
的次方不同的話，就將不是的部分補上就好了，乘法在指數上就變成加法，也就是所謂的指數法則。
※※問題4－1
F
×<2>＝F
R/0;1－r1;+S/0;1－s1;
假設未知的定數r，s，可將1－－<平方>如下因式分解。
「現在是閉校時間。」
將F
乘以<平方>就會變成Fn－2
，照下面算式就能全部整合成
，爲了方便整合，這裏將1視爲<0次方>。
式子C：F0;1;×<0次方>＝F<0><0次方>＋F<1><1次方>＋F<2><平方>＋F<3><立方>＋F<4><4次方>＋……
0，1，1，2，3，5，8，……←→/0;1－－<平方>1;
4．2．2斐波那契數列的生成函數
＋0;F<2>＋F<3>－F<4>1;×<4次方>
＋0;F<0>＋F<1>－F<2>1;×<平方>
F0;1;＝/0;1－－<平方>1;
當問題是「斐波那契數列的第1000項爲何？」時，就必須以F<0>＋F<1>求得F<2>，F<1>＋F<2>求得F<3>，持續計算到F<998>＋F<999>最後得出F<1000>，要用遞推公式求斐波那契數列就必須經過n－1次的加法，這樣太麻煩了，我希望能以F
表示『對n的閉公式』，『對n的閉公式』概略來講就是『將已知的計算過程在有限的次數內組合而成的公式』。
所以，是否能將/0;1－－<平方>1;化成與1/0;1－1;類似的形式呢？假如可以的話，我們就能從生成函數的國度回到數列的國度了，還會帶着斐波那契數列的一般項當作土產，到底有沒有辦法呢？」
1－－<平方>＝0;1－r1;0;1－s1;
＋………………
雖然也有從1開始的情況，不過現在就從0開始。
數列的一般項←生成函數的閉公式
然後計算。
※※斐波那契數列的生成函數F0;1;的閉公式
※※『使用生成函數求出數列的一般項』的旅行地圖
……米爾迦看向我。嗯，的確，的次方不同的話就無法相加，數不同就無法整合，不過本來數列與生成函數的對應，就是要避免的次數混淆吧？數列與生成函數要如何對應，真的會有這麼有趣的事情發生嗎？米爾迦馬上說出『很簡單』這句話。
嗯，好好選擇r，s的話，分母1－0;r＋s1;＋rs<平方>這邊似乎可以變成1－－<平方>，但是分子2－0;r＋s1;的部分無法變成，原因是常數項的2無法消掉。雖然很可惜，然而還是不行，真遺憾……
※※斐波那契數列的定義0;遞推公式1;
這個定義能將斐波那契數列『相鄰的兩項相加而得到下一個數』的特性充分展現，而且如同F<0>，F<1>，F<2>，……一樣，斐波那契數列可以用計算循序漸進算出答案，但是並無法表現出F
爲『對n的閉公式』，也就是F
並不是直接使用n的式子，這就是我所說『未捕捉』的狀態。
將兩邊同除<平方>＋－1後整理，就得到F0;1;的閉公式，這就是F0;1;的模樣。
這樣就能對函數F0;1;使用斐波那契數列的遞推公式了，分別觀察F0;1;乘以<平方>，<1次方>，<0次方>的式子吧。
※※數列與生成函數的對應
F0;1;＝/0;1－－<平方>1;
數列←→函數
當如上因式分解後，就可以如下讓分數和在通分時，剛好使分母爲1－－<平方>。
/0;1－－<平方>1;
「很簡單。」
F
＝00;n＝01;
然後右邊如下。
以斐波那契數列的一般項F
表示『對n的閉公式』。
＝0<0次方>＋1<1次方>＋1<平方>＋2<立方>＋3<4次方>＋……
這是將臨接的兩項相加而得到下一個數的數列。
F
×<0>＝F
接着要調查函數F0;1;的性質，由於函數F0;1;的係數Fn是斐波那契數列，活用這一點似乎就可以看出關於函數F0;1;的有趣性質。
將F0;1;的係數
設爲F
，可以具體地寫成下列算式，這樣我們就到了生成函數的國度了。
我希望以F<1>表示『對n的閉公式』，來抓住斐波那契數列。
0;右邊1;＝F<0><1>－F<0><0次方>－F<1><1次方>
0;左邊1;＝F0;1;×<平方>＋F0;1;×<1次方>－F0;1;×<0次方>
1/0;1+r1;+1/0;1－s1;＝0;1－s1;/0;1－r1;0;1－s1;+0;1－r1;/0;1－r1;0;1－s1;
F
＝10;n＝11;
F
＝Fn－2＋F
0;n≥21;
1/0;1－1;＝1＋＋<平方>＋<立方>＋……
〈a<0>，a<1>，a<2>，a<3>，……〉←→a<0>＋a<1>＋a<2><平方>＋a<3><立方>＋……
4．2．1斐波那契數列
＝＋<平方>＋2<立方>＋3<4次方>＋……
我們之前曾將分數形式的下式化成的無窮級數。
分母1－－<平方>爲二次式，總之先將1－－<平方>因式分解看看，我開始在筆記本上計算，米爾迦只是看着我動筆。
F0;1;＝F<0><0次方>＋F<1><1次方>＋F<2><平方>＋F<3><立方>＋F<4><4次方>＋……
＝0;0;R+S1;－0;rR+sS1;1;/0;1－0;r+s1;+rs<平方>1;
「是啊，這比喻是稍微異想天開了點。『在兩個國度間來回抓住數列』就是『使用生成函數求出數列的一般項』的意思。」
＝0;2－0;r+s1;1;/0;1－0;r+s1;+rs<平方>1;
F0;1;×0;<平方>＋－11;＝－
◎◎◎
＋0;F<1>＋F<2>－F<3>1;×<立方>
×<平方>＝
＝
「這樣的話，之後就沒問題了。」
右邊留下一開始的F<0><1次方>－F<0><0次方>－F<1><1次方>，其它會被全部消去，這是因爲依照斐波那契數列的遞推公式，F<0><1次方>－F<0><0次方>－F<1><1次方>會等於0。可以爽快地將它們消掉。
R/0;1－r1;+S/0;1－s1;＝R0;1－s1;/0;1－r1;0;1－s1;+S0;1－r1;/0;1－r1;0;1－s1;
3;0，1，1，2，3，5，8，……5;
數列←→生成函數
接下來我們思考斐波那契數列的生成函數F0;1;，將F0;1;的閉公式以的無窮級數表示的話，其n次的係數應該就會變成Fn。
＋……
0，1，0＋1＝1，1＋1＝2，1＋2＝3，2＋3＝5。3＋5＝8，……
這是我們往附近的飲料店移動，點了飲料後繼續數列的話題，「抓住數列？什麼意思？兩個國度又是什麼？」對於我的疑問，米爾迦用手扶正眼鏡，說了聲「是啊」後開始講解。
計算的時候，將左邊如下處理。
「所以說，下一個目標就是將下式以的無窮級數表現。
＋0;F
＋F
－F
1;×
在我低喃的同時，米爾迦卻說出『這樣的話，之後就沒問題了』這句話。
雖然想將Fn－2跟F
相加，但是由於的次數不同而無法相加，到底該怎麼辦？
4．2．5解決
式子B：F0;1;×<1次方>＝＋F<0><1次方>＋F<1><平方>＋F<2><立方>＋F<3><4次方>＋……
數列→生成函數
F0;1;＝……＋Fn－2－2
＋F
＋……
斐波那契數列的生成函數可以變成如此單純的閉公式真是令人愉快，畢竟這個算式中可是包含了無限延伸的斐波那契數列，很簡潔吧。
↓
=某數/0;1－－<平方>1;
……米爾迦偷偷往我看來。對了，再來將生成函數F0;1;以無窮函數的形式表示的話，就能得到斐波那契數列的一般項吧，我專注在生成函數的形式上，想將它的構造看透。
這樣次方就整合了，展開式A，B，C進行接下來的計算，如此一來，同次方的係數就可以使用F0;1;的遞推公式。
4．2．3求閉公式
4．2．4用無窮級數表示
已經不需要用<0次方>或<1次方>這種麻煩的寫法了，回到1與，然後用F<0>＝0與F<1>＝1代入，會得到下列式子。
爲了讓下式成立，要決定R，S，r，s這4個常數。
0;0;R+S1;－0;rR+sS1;1;/0;1－0;r+s1;+rs<平方>1;＝/0;1－－<平方>1;
比較兩邊結構，會發現只需要解出以下的聯立方程式即可。
R＋S＝0
rS＋sR＝－1
r＋s＝1
rs＝－1
有四個未知定數與四個獨立的式子，試着解出這個聯立方程式吧，只剩下動手了。
首先將R與S以r與s表示。
R＝1/0;r－s1;，S＝－1/0;r－s1;
這樣就快得到將F0;1;以無窮函數的形式表示的方法了，爲了之後能求出r。s必須繼續算下去。
F0;1;＝/0;1－－<平方>1;
＝/0;1－r1;0;1－s1;
＝R/0;1－r1;+S/0;1－s1;
在這裏帶入R＝1/0;r－s1;，S＝－1/0;r－s1;
＝0;1/0;r－s1;1;0;1/0;1－r1;1;－0;1/0;r－s1;1;0;1/0;1－s1;1;
＝0;1/0;r－s1;1;0;1/0;1－r1;－1/0;1－s1;1;
然後這裏用＝1＋r＋r<平方><平方>＋r<立方><立方>＋……跟＝1＋s＋s<平方><平方>＋s<立方><立方>＋……
＝0;1/0;r－s1;1;0;0;1＋r＋r<平方><平方>＋r<立方><立方>＋……1;－0;1/0;r－s1;1;0;1＋s＋s<平方><平方>＋s<立方><立方>＋……1;1;
＝0;1/0;r－s1;1;0;0;r－s1;＋0;r<平方>－s<平方>1;<平方>＋0;r<立方>－s<立方>1;<平方>＋……1;
F<0>＝0;1/<根號5>1;0;0;0;1＋<根號5>1;/21;<0次方>-0;0;1－<根號5>1;/21;<0次方>1;＝0/<根號5>＝0
「我不管做什麼事都要比別人多花上一倍的時間，還會不斷地提出疑問，不過得到的答案卻都是一些難懂的東西，所以就會漸漸地開始厭煩……」
——高德納『TheArtofputerProgramming』[22]
0;21;求函數F0;1;的閉公式0;在這裏爲對的閉公式1;，這裏使用了斐波那契數列的遞推公式。
整理之後就變成這樣。
利用二次方程式解的公式，可以得到以下結果。
F<2>＝0;1/<根號5>1;0;0;0;1＋<根號5>1;/21;<平方>-0;0;1－<根號5>1;/21;<平方>1;＝4<根號5>/4<根號5>＝1
F
＝0;r
－s
1;/0;r－s1;
……在展開長長的算式時，
「交交往？」
——霍夫斯塔特『メタマジック×ゲーム』[5]
「而且，每當看到數學式子時，都會產生『爲什麼會這樣寫呢？』的疑問，之後就很難繼續算下去了。想要問老師卻又不知道到底是不是該問……之後就越來越討厭數學了。」
「嗯～～也是有算到中途都很順利，結果計算錯誤的狀況。」我回答。
而r－s＝<根號5>，所以……
要以一般解聯立方程式的方式來解也可以，但是和爲1且積爲－1的兩個數r，s，會等於方程2－0;r＋s1;＋rs＝0的解，也就是所謂的「二次方程式的解與係數的關係」，理由則是由於下面的因式分解：
放學後，我急忙走在校園的樹蔭道中，一邊快步前進一邊從口袋中拿出紙條。我再度讀了一次紙條，上面只寫了一行字。
接着米爾迦開始說：「生成函數是操作數列的有效方法。原因在於，我們熟知的函數解析方法都能在生成函數的國度裏發揮效用，而在函數中培養的技術也能活用在數列的研究中。」
……我還是無法接受，真的是這個答案嗎？畢竟斐波那契數列全部都是整數，我不認爲一般項會出現<根號5>。
米爾迦爽快地回答。
「學長，我想說的並不是這個……啊，對不起。從剛剛開始都是我一直在吐苦水。不能吐苦水、不能吐苦水，我不是想吐苦水……我現在最想做的是多多用功！想好好用功！……這纔是我想表達的。」
「嗯，是同樣的公式，什麼地方有問題？」
＝0;0;r－s1;/0;r－s1;1;+0;0;r<平方>－s<平方>1;/0;r－s1;1;<平方>＋0;0;r<立方>－s<立方>1;/0;r－s1;1;<立方>＋……
「不清楚說明條件的話確實不好，不過這次就不要計較了，把使用生成函數發現的東西當成祕密，改用數學歸納法證明得出的一般項不就可以了。」
一切創造的喜悅，
「啊，米爾迦啊，沒有，我們並不是在交往。」
那麼，就以n＝0，1，2，3，4爲例來驗算。
「不，該道歉的是我纔對。總之先進去裏面吧，這裏太冷了。」
蒂蒂一看到我就急忙低下頭。
我的心中浮現出她的模樣，也更加確認了答案，嗯，我們並沒在交往。
F
＝0;1/<根號5>1;0;0;0;1＋<根號5>1;/21;
-0;0;1－<根號5>1;/21;
1;
聽到蒂蒂奇怪的用語後，我不禁露出苦笑。
「是啊，我在想使用a和b與使用和y，哪邊比較好呢？」
『學倉』是個舒適的空間，除了有福利社外，各處也放置着桌椅，可以輕鬆愉快地聊天，今天人還不是很多，別館樓上是藝術系社團的活動室，可以聽見有人在裏面練習長笛。
s＝0;1－<根號5>1;/2
＝0
蒂蒂一邊說「很想用功」，一邊將拳頭握緊。
米爾迦。
<平方>－0;r＋s1;＋rs＝0;－r1;0;－s1;
斐波那契數列→生成函數F0;1;
「不，經常抱持疑問反而才適合學數學。」我說。
0;r
－s
1;/0;r－s1;=0;1/<根號5>1;0;0;0;1＋<根號5>1;/21;
-0;0;1－<根號5>1;/21;
1;
※※解答4－10;斐波那契數列的一般項1;
「那、那個，學長。學、學長是不是和那位學姊在交、交往？」
是爲了要表示最初找出這個等式的方法，
F0;1;＝0＋0;0;r－s1;/0;r－s1;1;+0;0;r<平方>－s<平方>1;/0;r－s1;1;<平方>＋0;0;r<立方>－s<立方>1;/0;r－s1;1;<立方>＋……
5．2浮出的疑問
F0F1F2F3
「原來如此。」
「特地叫你出來真是對不起，雖然可以直接到圖書室去，不過我怕又像昨天那樣」……
斐波那契數列一般項←生成函數F0;1;的閉公式
可以得到斐波那契數列一般項F
如下。
今天放學後，我在『學倉』等你。蒂德菈
臉上浮現滿足表情的米爾迦一口氣將已經變涼的咖啡喝完，對於我的疑問則是回答：「要試試看嗎？」
0，1，1，2，3，確實是斐波那契數列。喔～～原來如此，實際計算的時候，分子跟分母會同時將<根號5>消掉啊！！
假定r＞s，則……
使用生成函數這個重要的手段，
0;11;思考與斐波那契數列的Fn的係數有關的生成函數F0;1;。
F<3>＝0;1/<根號5>1;0;0;0;1＋<根號5>1;/21;<立方>-0;0;1－<根號5>1;/21;<立方>1;＝16<根號5>/8<根號5>＝2
4．3回顧
穿過樹蔭道，進入別館的大廳——又稱爲『學倉』——的同時，蒂蒂已經在入口等我了。
隔天。
「原來如此。」
F
＝0;1/<根號5>1;0;0;0;1＋<根號5>1;/21;
-0;0;1－<根號5>1;/21;
1;
好，這樣就解決了。
「但是……那個……假如再讓學長教我的話，那位學姊還會……用腳碰我的椅子嗎？」
這樣就能將斐波那契數列的一般項以r，s表示。
r＋s＝1
嗯，真厲害，我一邊喝着咖啡，一邊回顧今天的整個流程，想我們求出斐波那契數列的一般項0;也就是對n的閉公式1;，爲此依着以下的順序前進。
像昨天一樣再被米爾迦踢一次的話，確實會受不了吧。
「我從很久以前就有個疑問，不過一直沒有提出來——就是昨天學長有提到0;a＋b1;0;a－b1;＝a<平方>－b<平方>這個公式。我看了參考書，發現書上是寫成0;＋y1;0;－y1;＝<平方>－y<平方>。」
F<4>＝0;1/<根號5>1;0;0;0;1＋<根號5>1;/21;<4次方>-0;0;1－<根號5>1;/21;<4次方>1;＝48<根號5>/16<根號5>＝3
蒂蒂一個人用力地點點頭。
rs＝－1
「我想我大概不適合學數學吧，就算問數學很好的朋友，也不能理解我到底在煩惱什麼，常常被說『這些不用管』，正想說不用管時，又被說『這個要好好注意啊』，到底哪裏是該注意的地方，我已經完全搞個清楚了。」
蒂蒂很緊張地看着我，我則是以微笑響應。蒂蒂的眼睛又大又圓，可是身材卻非常嬌小，給人的感覺像是在玩弄核桃的松鼠，蓬鬆的尾巴似乎十分適合她。
※※『求斐波那契數列的一般項』旅行地圖
「米爾迦啊，不曉得……或許會用腳碰椅子吧，該怎麼說她呢……嗯，米爾迦那邊就由我來跟她說明好了。」
「昨天真是非常抱歉，那個……」
我邊聽着米爾迦說話，邊擔心別的事情。在計算無窮級數的時候，變更和的順序不是不太好嗎？米爾迦……這真的沒問題嗎？
「不過，數學就不是這樣了，懂的時候很清楚，但是不懂的時候就完全沒辦法，沒有所謂的折衷。」
「我……昨天嚇了一大跳，所以什麼都沒說就直接回去了，真是非常抱歉。」蒂蒂深深地低下頭。
「我很慶幸能進來這間高中，將來也希望從事計算機相關的工作，但是我想不管朝哪個方向前進，數學都是必要的。所以纔會想要努力用功。」
＝0;1±<根號5>1;/2
F<1>＝0;1/<根號5>1;0;0;0;1＋<根號5>1;/21;<1次方>-0;0;1－<根號5>1;/21;<1次方>1;＝<根號5>/<根號5>＝1
「嗯，可以啊。假如還有想問的問題，隨時都可以來問我，就像之前一樣……你給我這封信就是爲了這件事嗎？希望我之後能夠繼續教你？」
蒂蒂是高中一年級，和我同個國中出身的學妹，雖然是這麼說，不過我國中時並不認識她。
r＝0;1＋<根號5>1;/2
之後就剩求出r，s了，r與s的聯立方程式如下：
5．1在『學倉』
我看着紙條，蒂蒂點點頭。
我在自動販賣機買了一罐咖啡，並找了個適當的位置坐下，蒂蒂則坐在我的對面。
「假如是英語的話……」蒂蒂繼續說着。「單字不懂可以查字典，難懂的慣用句可以死記，文法雖然麻煩，但是和例句一起記就好了，只要有讀，多少都能慢慢進步。」
也就是說，使用與數列係數相同的函數——生成函數一一來『抓到數列』了，原來如此……不過，還真是漫長的旅途啊。
這會不會太單純了一點？我雖然想這麼說，然而爲了不打斷她的話，我點點頭。
第5章算術平均數與幾何平均數的關係
也就是說，從r＋s＝1，rs＝－1，可以得到＝r，s爲以下方程序的解。
0;31;將函數F0;1;的閉公式以無窮級數的形式表示，這時候的係數n爲斐波那契數列的一般項。
「不，和她……正在交往嗎？」
<平方>－0;r＋s1;＋rs＝<平方>－－1
「越來越討厭？」
蒂蒂聽到我的話，終於露出了微笑。
都在可能立即消失的邊緣在線上徘徊。
↓
「不過，確實是因爲我厚臉皮地坐在學長旁邊，纔會……發生那種事。」蒂蒂邊注意我的臉色邊說。「然後那個……假如，不會造成學長麻煩的話……之後還可以請你繼續教我數學嗎？」
「不，我才應該道歉。這個……有很多原因……」
「學長通常是怎麼用功的呢？」
「有時候是解問題，有時候只是單純地寫寫算式而已，譬如說……這樣好了，今天我們就一起用功吧。」
「好、好的。」
5．3不等式
蒂蒂說了一聲「失禮了」後，就移動到我旁邊的座位，跟我一起看着筆記本。從她的身上微微傳來甜甜的香味，啊，是和米爾迦不一樣的香味……這是理所當然的。
「那就開始吧，就先以r當實數，討論r的二次方r<平方>，你對這個瞭解多少呢？先想想看。」
對於我的提問，蒂蒂想了幾秒。
「因爲r<平方>是平方，所以會大於0……對吧？」
「是的，然而不是『大於0』而是『大於等於0』纔對』，『大於0』的話就不包含0了。」
「啊，真的耶，假如r是零的話，r<平方>也會是零。好的，『r<平方>大於等於0』。」
蒂蒂像是理解似地點點頭。
「也就是說，無論r是任何實數，下面的不等式都會成立，對吧？」
r<平方>≥0
「咦？啊，是啊。r是實數的話，r<平方>就大於等於0了。」
「實數r可能是正數、零或是負數，無論是哪種情況，在平方之後都會大於等於0，所以r<平方>≥0成立，這是提到『r爲實數』時要特別注意的重要性質，等號成立時就是r＝0的狀況。」
「請問……這好像是理所當然的吧。」
「是的，理所當然。『從理所當然的地方開始是好的第一步』。」
「啊，好的。」
「不等式r<平方>≥0對任何實數r皆成立。像這樣，無論任何實數皆成立的不等式稱爲絕對不等式。」
「絕對不等式」……
0;a<平方>＋b<平方>1;/2≥ab
「與其說是自己做出來的，還不如說是從算式裏導出的，其實在數學課本與回家作業裏，也有這種推演算式的題目，以後試着多注意看看，這種推演的問題會出現在課本的例題或是練習題中。」
「……等一下，學長，這裏怪怪的。這ab≥0的條件是必要的嗎？我還是不懂，當ab＜0的時候，這個等式不是也會成立嗎？就像下面這個例子，當a＝2而b＝－2時，左右兩邊會分別如下。」
「不，沒有爲什麼一定要這樣做的規則，只是有時候我會想這樣做而已。」
「原來如此。」
我將自動鉛筆交給蒂蒂。
「這個式子是什麼呢？」
「啊，沒關係，剛纔用的r是實數0;rea1number1;的第一個字母，不過也可以像『設爲實數』一樣使用，或是『設w爲實數』一樣使用w。通常來說，定數的時候會使用a，b，c，變量的時候就會用，y，z，不過在這裏的話都可以，雖然如此，當寫作『設n爲實數』時還是會嚇一跳。畢竟n通常都用在表示整數或自然數……嗯，到這裏爲止跟得上嗎？」
「然後將剛纔的不等式，0;a<平方>＋b<平方>1;/2≥ab寫成……」
＝<根號a<平方>c<平方>>因爲ac＞0
右邊＝<根號a<平方>b<平方>>
「說成『公式』就很容易讓人有必須死記的印象，容易產生不易親近的感覺。但是假如常常做算式變化的練習，這種想法就會漸漸淡化。就像在捏黏土，當你越捏，它就越柔軟。」
「不對……應該說不完全正確。」
＝a<平方>－2ab＋b<平方>
我提出了引導用的疑問，而蒂蒂則用大大的眼睛回答：
＝4
「是啊，假設以a＝2和b＝－2來想就知道了。左邊是ab＝2×0;－21;＝－4，右邊卻是<根號a<平方>b<平方>>＝<根號2<平方>0;-21;<平方>>＝<根號16>＝4。」
a<平方>＋b<平方>≥2ab
ab＝<根號a<平方>b<平方>>但是ab≥0
「咦？可是當＝0，y＝0的話，左邊和右邊都會變成0啊。」
「……我知道，嗯……這是算術平均數與幾何平均數的關係！」
「從『無論任何數』這種觀點來看的話，絕對不等式與恆等式很相似，只是區別在絕對不等式是不等式，恆等式是等式。」
「那這次就加上條件，加上ab≥0這個條件的話，下面的等式就會成立了。」
＝0;2<平方>＋0;-21;<平方>1;/2
＝a<平方>b<平方>
「再來兩邊同除以2，然後就會像這樣。」
「要取消ab≥0這個條件，就必須證明即使ab＜0，這個不等式也會成立。」
蒂蒂想了一下，最後搖搖頭。
0;a<平方>＋b<平方>1;/2≥a<平方>b<平方>但a＞0且b＜0
「是的，沒錯……不過之後要怎麼做呢？」
我繼續說下去。
「嗯，就是這樣，不等式的左邊是『兩數相加除以2』的算術平均數0;+y1;/2，右邊是『兩數相乘開根號』的幾何平均數<根號y>，所謂算術平均數與幾何平均數的關係就是指算術平均數一定不小於幾何平均數。」
「ab＜0的時候，a與b其中一邊是正的，另一邊是負的，那先假定。a＞0與b＜0好了，現在以滿足c＝－b的數c思考，因爲b＜0，所以c＞0，由於0;a<平方>＋b<平方>1;/2≥ab對任何實數均成立，所以對a和c也成立，所以下式成立。」
＝aa－ba－ab－bb
之後，你接下來想要了解什麼算式，任何東西都可以，試着說說看吧，還是你要寫寫看？」
「你的想法是對的，但是不一定要和y都等於0不可，只要＝y就好了。」
「所以下面的式子成立。」
「哪裏是……哪裏啊？」
「這個……平方之後就可以拿掉根號，拿掉根號之後，會回覆原來的樣子』對，我想應該是必然成立。」
「原來如此」……
「這樣可以嗎？」
看着算式的蒂蒂突然抬起頭，眨了眨眼睛之後對我笑着，她似乎很高興。
右邊＝ac
「好的」……雖然蒂蒂這樣回答，不過她仍舊專心地思考。
「那再繼續往前吧。將a與b設爲實數，這時候下式成立，能夠理解吧？」
「由於和y都是平方數，所以都是0以上。也就是說≥0且y≥0，所以剛纔的不等式就可以如下列式子表示，應該很清楚了，有看過這個式子吧？」
0;a－b1;<平方>≥0
「是的，居然從r<平方>≥0開始，一直推演到公式出來了。」蒂蒂感慨地說出感想。
「原來如此，我懂了……啊，還有一點，所謂『任意』是什麼意思？」
「唉呀，疏忽條件了。」
「嗯，可以啊，那現在想想看關於這兩個式子。」
「所以左邊≥右邊會成立喔，學長。」
「是，這個我懂。」
「啊……原來如此。這是將a<平方>和b<平方>相加，再除以2。」
0;a－b1;<平方>＝0;a－b1;0;a－b1;
0;a<平方>＋b<平方>1;/2≥<根號a<平方>b<平方>>但是ab≥0
「啊、啊」……
「是什麼呢？」
「嗯，現在開始試着表達式子，例如將－2ab移項到右邊看看，移項之後－2ab就變成2ab了。」
「真虧你能發現呢，蒂蒂，確實不附上ab≥0這個條件好像也可以，不過要怎麼取消這個條件呢？」
＝<根號16>
「這樣啊……往後我會注意的，原本提到公式就會有『必須趕快記起來』的感覺呢。」
0;a－b1;<平方>≥0，0;a－b1;2＝a<平方>－2ab＋b<平方>
「因爲0;a－b1;2爲0以上所以展開的結果也會是0以上吧，蒂蒂。」
「啊，我知道了，『任意實數』就是指『無論哪一個實數』的意思吧。」
「嗯……沒錯，a－b爲實數。因爲是實數，所以平方會是0以上……啊，請等一下，剛纔在r<平方>≥0的時候有用過r這個字母，爲什麼這次就是用a和b呢？我每次都不懂爲什麼要這樣做，而在當我在想的時候，老師就繼續說下去了。」
蒂蒂露出了笑容，閃耀的眼神像是在說「接下來呢？」，真是個表情豐富的女孩啊，而且一定要完全理解纔會繼續下去的這一點也很不錯。
「嗯，式子的左邊寫着a<平方>跟b<平方>，在這裏我要將右邊的ab也一樣用a<平方>跟b<平方>表示。」
「所謂『任意』就是『任何其中一個』或是『無論是哪一個』的意思，相當於英文的any，也有用『對所有的……』來表示的方法，英文的話就是「forall」。」
0;+y1;/2≥<根號y>但是≥0且y≥0
「看看左邊，會發現0;a<平方>＋b<平方>1;/2就是a<平方>跟b<平方>的平均。」
「嗯，像這樣用實例檢驗是很重要的，『舉例是理解的試金石』。」
「那麼，接下來要往哪裏前進纔好？」
「算式的推導如果一開始就用死記的方法，反而很難記起來，要自己動手計算，然後理解，這是很重要的，沒有理解就死記的話，通常是沒有用的。」
＝0;a<平方>＋b<平方>1;/2
ab＝<根號a<平方>b<平方>>0;？1;
「那這裏將兩邊的式子用a<平方>跟b2表示，並將a<平方>跟b<平方>以別的名字表現，把a<平方>設爲，b<平方>設爲y，定義式如下。
「……不知道。」
「真的是這樣」……蒂蒂一邊確認我寫的計算式，一邊點頭。
「咦？『和y都是0的時候』嗎？」
左邊＝0;a<平方>＋c<平方>1;/2
「咦？是這樣嗎？那用＝3，y＝3來確認看看好了。左邊是0;+y1;/2＝0;3+31;/2＝3，右邊是<根號y>＝<根號3×3>……啊，真的耶。」
「好的……那我就試着展開看看好了。」
「嗯。」
0;a<平方>＋b<平方>1;/2≥a<平方>b<平方>但a跟b爲任意實數
「然後將左右分開來看。」
＝0;a－b1;a－0;a－b1;b
「可以，非常清楚。不好意思打斷學長的話，我每次都會很在意使用的文字……不過0;a－b1;<平方>≥0這邊我已經懂了。」
＝<根號2<平方>0;-21;<平方>>
蒂蒂看着寫在筆記本上的算式陷入沉思，雖然花了一段時間，不；她終於抬起頭。
0;a<平方>＋c<平方>1;/2≥ac
「話說回來，你知道在算術平均數與幾何平均數的關係中，什麼時候等號會成立嗎？也就是說以下式子成立的時候，與y是什麼樣的關係呢？」
「下一步會稍微跳得有點快，要注意喔。爲了將ab以a2跟b2表示，就要變形成下面的算式，你認爲這個等式會必然成立嗎？」
0;+y1;/2＝<根號y>
左邊＝0;a<平方>＋b<平方>1;/2
「什麼都可以。理解……
「啊，好的。」
＝<根號a<平方>0;-b1;<平方>>因爲c＝－b
0;a－b1;<平方>≥0
「喔～～原來公式是自己做出來的。」
＝a<平方>，y＝b<平方>
＝4
「不，不對，平方去掉根號之後會回覆原狀的只有0以上的數，ab有可能是負數，所以若是沒有設立條件的話這個等式不會成立。」
「到這裏的討論是假設『a爲正真b爲負』，反過來說『a爲負，b爲正』也一樣。根據以上證明，對任意實數a與b，下面的不等式成立。」
＝0;a<平方>＋0;-b1;<平方>1;/2因爲c＝－b
「那我再用其它的例子試試看，當＝－2，y＝－2的時候呢？左邊是0;+y1;/2＝0;0;-21;+0;-21;1;/2＝-2，右邊是<根號y>＝<根號0;-21;×0;-21;>＝2……咦？錯了？」
「蒂蒂，你忘了≥0且y≥0的條件喔。」
「唉呀，沒錯沒錯，我完全漏掉這個條件，一直想東想西地就忘記它了。」
蒂蒂伸出舌頭，用手敲了敲自己的頭。
「蒂蒂，只要注意到這次是從0;a－b1;<平方>≥0這個不等式開始，就能知道等號成立的時候是a＝b0;也就是＝y1;的時候。」
※※算術平均數與幾何平均數的關係
0;+y1;/2≥<根號y>
當且僅當≥0，y≥0，＝y的時候等號成立。
5．4更進一步
「現在將算式捏成另外的樣子，雖然一直重複會有點煩人，不過要證明算術平均數與幾何平均數的關係，其實只要將0;<根號>－<根號y>1;<平方>≥0的左邊展開就可以了，但是記得≥0且y≥0。」
0;<根號>－<根號y>1;<平方>＝<根號><平方>－2<根號><根號y>＋<根號y><平方>
＝－2<根號><根號y>＋y
＝－2<根號y>＋y因爲≥0，y≥0
≥0因爲0;<根號>－<根號y>1;<平方>≥0
「也就是會變成這樣。」
－2<根號y>＋y≥0
「然後將2<根號y>移項，兩邊同除以2，就會出現下面的式子。」
0;+y1;/2≥<根號y>但是≥0且y≥0
「咦？可是這次≥0，y≥0的條件從哪裏來的？」
「因爲現在只考慮實數，<根號>之中和y都必須是0以上。」
5．5所謂讀數學
解析是研究連續，
「……」
我就像被蒂蒂的話吸引一樣開口：
「比0小的話，就變成虛數了。」
0;
1;
＝
「讀數學時最讓人覺得厭煩的就是不曉得目標在哪裏，就算解開問題也不曉得樂趣在哪裏，在家自己讀數學很無聊，也不曉得到底將來會在哪裏用到……不過問題也不是『到底學數學對將來有什麼幫助』這種常常聽到的話，只是想知道剛剛學到的算式變形到底和昨天學過、明天將要學到的東西又有什麼關係，我希望能看到地圖的全貌，但是老師卻沒有讓我看見。」
「對，現在要將和與積，還有平方根的符號變形。和用＋y，積就用×y，明白地寫出×號，除以2用乘表示，平方根則以次方表現。這樣的話，下式就會成立，這也是算術平均數與幾何平均數的關係喔，這種寫法可以明白地看出兩邊的相似性。」。
「我曾經以爲學長和那位學姊……在交往，因爲你們總是在一起。」
「總覺得好羨慕學長，我雖然也想努力學好數學，但是等級完全不一樣。」
「因爲大家都是喜歡纔去學習的，除了都宮體育也好外，我和米爾迦都不擅長運動。先不管米爾迦，我很不擅長在大衆面前說話。但是我喜歡數學，因爲喜歡所以纔會去做，就是這樣，蒂蒂有喜歡的東西嗎？」
（JoyJ：聽了名名的話，咱這個總挖大坑的人情何以堪==）
「微分？」
「嗯，這是最自然的想法，所以說，仔細看0;
1;<平方>＝<1次方>，因爲<1次方>等於，所以這個算式告訴我們『
的平方會是』，使得
會是……」
「所謂『取平方根』就是指『0;1/21;次方』的意思，雖然說次方可能會讓人嚇一跳，不過這是定義……一開始從指數的法則思考的話就很合理。」
「沒錯，學長，就是這樣……學長還真清楚。」
「學長好厲害……昨天在圖書室教我的時候也能讓我覺得有趣，雖然只是簡單的算式變形，卻讓我有種雀躍的感覺，今天的話我也會當成參考的……請問……學長這些話有跟那位學姊說過嗎？」
「這個式子使用Σ跟∏就會變成下面這樣，左邊是和，右邊是積，而算術平均數與幾何乎均數的關係就是和與積之間的不等式。」
「啊，嗯，該怎麼說，應該說我們聊天的內容更加具體吧，我在圖書室計算的時候，有時候米爾迦會湊過來討論，話題就是正在計算的內容，不過大部分都是她在說話，米爾迦很聰明，我贏不了她，她瞭解的比我更深更廣。」
「是啊。」我回答。
蒂蒂用兩手按住嘴巴轉了回來，並擺出一副「糟了」的表情，她似乎是因爲在我面前表現出平常的一面而感到不好意思，整張臉紅到耳根。
「假如<根號>之中比0小呢？」
「……就是米爾迦學姊。」
「不是，數學方面是米爾迦第一，而且還有都宮在，整體來說的話都宮是第一。」
沉默。
「學長、學長～～雖然好像很有趣，不過我好像被你遺忘了啦。」
蒂蒂歪頭思考，我則繼續說下去，我的話匣子一打開就停不下夾。
「學校裏都沒有真品嗎？」
「不！不能這樣！無論別人怎麼樣，只要追求自己認爲對的就好了吧！學長，我又有精神了！那個……我希望能拜託你，往後……即使只是偶爾也好，請讓我繼續和學長討論數學。拜託你！」
「啊，對了，不曉得能不能將算術平均數與幾何平均數的關係廣義化，證明下面這個式子說不定很有趣。」
「可以啊，當然。」
在這高中二年級的秋天裏，這樣的蒂蒂讓我覺得非常地可愛。
「當你認真追求喜歡的事物時，就會得到分辨真僞的能力。總有一些喜歡大聲嚷嚷，或是故作聰明的學生存在，那些人想必習慣表現自我、非常重視自尊，倘若養成用自己的頭腦思考的習慣，會去了解事物的本質，就不需要那強調自我了，即使大聲嚷嚷也不會懂遞推公式，故作聰明也解不開方程式。無論別人怎麼認爲、無論被別人說什麼，都要思考到自己能接受爲止，這是我認爲相當重要的事。追求喜歡的事物、追求事物的本質，我認爲……」
「因爲是指數的乘法，所以a的兩倍會是1，所以就是a＝0;1/21;。」
「沒錯，普通演算會像下式一樣，次方的次方會以指數的乘法來計算。」
米爾迦用手撐着臉在旁邊看我計算，她沒有說任何話，一直被人看着……我很難繼續下去。
過了一會兒，蒂蒂突然抬起頭。
「0;1/21;次方很合理？」
「那是因爲學長的成績好啊，像我就不行，常常被命令『快去讀書』，真是煩死了。」
——鄧漢[14]
「平方的話會讓成爲0以上的數吧……啊，那就是<根號>啊！！哇……好厲害！」
「雖然很不可思議，不過確實感覺很合理。」
「不，完全不會打擾、也不會麻煩。能讓我說出自己想的事，而且能與人分享，像這樣有個不錯的談話對象我非常高興，我並不會特別想要一個人獨處。」
「在圖書室也總是……」
「原來如此……」
「嗨！」蒂蒂也轉向她們大聲地回答。
「那，稍微再演練一下算術平均數與幾何平均數的關係吧，剛纔寫的沒有表現出『算術平均數』和『幾何平均數』的語言節奏。」
0;無名之聲：最近跟看到月巴大在博客上的話，又看到了上面書中的對話，又有點感慨想說說。這只是個人看法，僅拿來吹一下，不該也不敢強求大家贊同，呵呵，因爲每個人心中都有自己的秤，並且倆倆不全等，任何人的觀點沒權力也沒必要一定讓別人完全贊同，當然，這句話也是我想給網上所有愛戰之人提出的一個參考觀點。我還想提出的是，上面的一大段書中對話希望各位書友品嚐一下，無論是天朝還是日系，無論是原創還是模仿，無論是名著還是科普，喜歡就是喜歡，大家都爲了各自喜歡的事去努力。這也就像某筆記說的一樣，伸張屬於自己的正義而已，只不過那些不科學或者不合主流的正義，就不要隨便伸張出自己的範圍外了，呵呵。最後想說說我自己，我本人很喜歡輕小說，所以我很敬重和支持那些爲輕小說而奮鬥的人；也希望泉川、輕國以及所有致力於輕小說的論壇能夠順利地走下去，更好地繼續壯大。啊啦～又影響閱讀速度了～抱歉1;
「學長今天也要去圖書室嗎？」
（無名之聲：無知被揭露後往往就會帶來煩躁，進而化爲遷怒。學數學，不怕無知，只怕無知導致的躁動，遇到無知沉下氣來埋頭去用已知攻克無知纔是學數學的態度。因爲我是數學專業的，有點多口說說自己對學數學的看法，說錯了還請一笑置之，因此影響了讀者的閱讀速度真是很抱歉。）
「很厲害吧，這樣一來，0;1/21;次方就是平方根很合理吧？」
「因爲我也一樣，我的話就會先往數理方面的書櫃走，無論是到哪間書店都一樣。假如是常去的書店，我連擺放的位置都會記起來，只要看一下書架就知道哪些是新書。就只是如此，我只是做我自己喜歡的事情，只是花時間在自己喜歡的事情上，爲喜歡的事情抽出時間，我想任何人都一樣，希望更深入、更持續思考自己喜歡的事，所謂的喜歡就是這一回事吧。」我彷彿心中某處的開關被打開一樣，將一切的感情化爲言語表現出來。
Σ
>×0;1/n1;≥∏
><0;1/n1;次方>
「原來如此。」
「那依照上面的原理來看看下面這個式子，這裏a要填什麼數比較好呢？」
「因爲是同班啊。」
「學長能夠很認真地聽我說話，但是我同學就不行了，我雖然也有數學很好的朋友，但是就沒辦法像現在這樣順利地談話，每次都會被欺負。當她說『你不要問這些，只要記起來就好了』的時候，我就不想和那些傢伙……不，那些人說下去了。」
「……」
0;<1>＋<2>＋……＋
1;×0;1/n1;≥0;<1>×<2>×……×
1;<0;1/n1;次方>0;
≥01;
「學校裏的世界不但窄小而且狹隘，也有很多欺騙小孩的假象，雖然學校之外也有很多假象。但是也有碰到會受傷的真品。」
「現在你的書包裏有放英語的書吧，而且到書店去的時候，會先往英文的書櫃走，對吧？」。
數論走研究離散，
※※平方根就是0;1/21;次方。
<0;1/21;次方>＝<根號>0;≥01;
「那我也……啊，那個……還是算了，今天我先回去了。假如之後有問題可以再問嗎？在圖書室或是……在教室的時候。」
「語言……節奏？」
蒂蒂立刻舉手。
我能理解蒂蒂的不安，也就是『不曉得接下來會發生什麼事』啊。
「嗯，是啊。」
然後……
「就好像是拿着小型手電筒到一個全黑房間的感覺，雖然可以用手電筒照明前進，但是光能照到的範圍卻很狹窄，無法知道自己到底走到哪裏。前後都是一片漆黑，能看到的只有光照到的一小部分而已，假如真的很困難的話，那也沒有辦法，可是實際上算式的變化並沒有那麼難，所以我已經搞不清楚數學到底算是簡單還是困難了，單獨來看似乎很簡單，可是卻無法掌握整體，就像沒有地圖時的困惑與不安。」
「沒有……我在想你在看什麼。」我回答。
「學長……我還有問題，平方根是<根號>吧？『0;1/21;次方』是什麼呢？」
而尤拉結合兩者。
「有個沒用的學妹在旁邊，會打擾到你嗎？」
「學校只能提供學習的素材，老師也只關心考試的事情，不過這些並不重要，我只是想要不斷地思考自己有興趣的事物，這並不是被父母強迫的，無論我推演了什麼算式。父母都不會關心，他們只會注意到我是不是坐在書桌前，所以我能做我喜歡的事，不過原本他們就不太會特別叫我念書。」
我又回答了一次。
「並不是這個意思，例如說某個老師，你知道村木老師吧？雖然他被說成是個奇怪的人，但是他懂的很多，這點無論是我，都宮或是米爾迦都這認爲，我們有時候會被村木老師提出問題，有時他也會介紹有趣的書給我們。」
「那位學姊？」
米爾迦進來後，毫不猶豫地在我旁邊坐了下來，她的身上散發出淡淡的橘子香，她在看了我的筆記本後說：
「學長……像這樣……在你做想做的事時……有個沒用的學妹……會打攪到你嗎？」蒂蒂用彷彿快要消失的聲音說着。
「怎麼了？」米爾迦說。
「這邊我瞭解。」
稍微休息了一下，蒂蒂再度回到我對面的座位，繼續談論關於讀數學的話題。
「嗯，可以啊。」
蒂蒂慢慢地點了頭，她仍然在思考，不知何時，樓上長笛的長音練習已經結束，換成了顫音練習，周遭的人也漸漸變多了，『學倉』開始變得熱鬧。
0;
1;<平方>＝<1次方>
0;＋y1;×0;1/21;≥0;×y1;<0;1/21;次方>0;≥0，y≥01;
「我喜歡英語……非常喜歡。」
沒什麼關係，大概吧，而且今天好像被蒂蒂『拜託』好幾次，也回答『可以』好幾次了，一定沒問題的，思考中的我看了看大廳的時鐘。
我停了下來，我說得太多了，因爲表現自己而大聲嚷嚷的我真是愚蠢，到此爲止吧。
6．1微分
蒂蒂安靜地聽我說話。
我一如往常地在沒有人的圖書室裏推演算式。
「……那個，學長是全年級第一名吧。」
「我簡單說明一下關於≥0，的平方根等於<0;1/21;次方>的事吧，首先思考一下什麼是0;<立方>1;<平方>。」：
「我喜歡數學，我會在圖書室裏不斷地看着算式，也會將上課中出現的式子重新組合，讓自己能理解與接受，然後一步一步地繼續下去，在學習的時候，我會特別注意自己能不能將這些過程重現。」
蒂蒂輕咬着食指的指甲。
「0;<立方>1;<平方>嗎？因爲是0;××1;<平方>……所以總共是6次方，我想應該是0;<立方>1;<平方>＝<6次方>。」
第6章在米爾迦的身旁
這時候，有三個女孩從蒂蒂的背後走過，並對她喊了一聲。嗨，蒂德菈。」
「爲什麼大家都那麼厲害呢？」
「我常在圖書室裏想事情，會打開筆記本回憶算式，想着這式子爲什麼非得要這樣定義不可，或者嘗試改變定義會發生什麼事，真正重要的地方必須自己思考，就算抱怨老師或同學也都沒有意義。像蒂蒂剛剛所說，當看到算式的時候會想『爲什麼要這樣寫呢？』這樣想絕對不是壞事，或許這會很花時間，但是不輕易對自己抱持的疑問妥協，努力思考出答案是很重要的，我覺得這樣纔算是唸書，不管是父母、朋友，甚至是老師都沒有辦法回答蒂蒂自己的疑惑，至少無法完全地回答，他們有時候甚至還會生氣，當人遇到自己無法回答的問題時，會展現憤怒，並憎恨提出問題的人，然後回頭去嘲笑他們。」
蒂蒂用嚴肅的表情懇求。
「咦？」
「你的計算。」她簡短地回答。
這樣說是沒錯……
就是因爲米爾迦不只是看才麻煩，她的距離感與其它人不同，會從旁邊的座位突然貼近到臉龐附近，假如我用手擋住算式，她就更要一探究竟。
啊，對了，我想起與蒂蒂的約定了。
『米爾迦那邊就由我來跟她說明好了。』
「對了，米爾迦，關於之前那件事……」
「等一下。」米爾迦說完話後把臉朝上並閉上眼睛，形狀完美的雙脣輕輕開合，似乎是開始思考有趣的事情，這樣我就不能打擾她了。
過了七秒，她張開眼，並一邊對我說「微分，簡單地說就是變化量吧」，一邊在我的筆記本上書寫。
◎◎◎
「微分，簡單地說就是變化量吧。」
假設以直線上現在的位置爲，設稍微有點距離的地方爲＋h，h不用太大，也就是『最近距離』。
[插圖：畫一條橫向直線，任取一點，在其右任取一點＋h]
然後來思考f這個函數的變化吧，對應的函數f爲f0;1;，然後對應＋h的函數f的值爲f0;＋h1;，接下來注意『當距離爲h時，函數f會如何變化』。
爲了使對比更加醒目，將0也清楚標明，當現在位置爲＋0時，f的值就是f0;＋01;，當前進到＋h時，f的值就變成f0;＋h1;。
從＋0前進到＋h的變化量可以用……
『前進後的位置』－『前進前的位置』
求出來，也就是0;＋h1;－0;＋01;等於h，同樣地，從＋0前進到＋h時的變化量可以用f0;＋h1;－f0;＋01;求出。
[插圖：在只有正半軸的平面直角座標系上畫一條類似於f0;1;=2<次方>的函數圖像的曲線，在圖像上任取一點0;＋0,f0;＋01;1;，在其右側任取一點0;＋h,f0;＋h1;，則兩點之間的橫向距離爲0;＋h1;－0;＋01;,縱向距離爲f0;＋h1;－f0;＋01;]
在這裏要調查對的函數f，也就是調查瞬間的變化，假如的變化量0;＋h1;－0;＋01;變大的話，或許f的變化量也會變大，所以將兩者相除得出比例，這個比例相當於上圖斜的虛線斜率。
0;f的變化量1;/0;的變化量1;＝0;f0;＋h1;－f0;＋01;1;/0;0;＋h1;－0;＋01;1;
lim
←→0;f0;＋11;－f0;＋01;1;/0;0;＋11;－0;＋01;1;
<2次遞降階乘>＝0;－01;0;－11;
＝lim
由微分算子D的定義得到
「咦？」
lim
◎◎◎
……米爾迦似乎很高興，每次聽她說話都會不知不覺地被拉到別的世界去。
※※微分算子D的定義
例如說將一次函數f0;1;＝用微分與差分互相比較。
＝2＋1
Δf0;1;＝Δ由f0;1;＝得到
<平方>＝←→<2次遞降階乘>＝0;－01;0;－11;
<3次遞降階乘>＝0;－01;0;－11;0;－21;
0;f0;＋11;－f0;＋01;1;/0;0;＋11;－0;＋01;1;
到目前爲止都是關於連續世界的話題，可以自由地滑動，而現在開始要進入離散世界了，既然是離散的世界，也就是像整數一樣只能取個別的值，在連續的世界裏，考慮的是將移動『最近距離』的h在f上的變化量，然後將h→0的極限定義爲微分，那麼，假如將微分移到離散世界又會如何呢？
微分與差分同樣是1，這樣就能確定函數f0;1;＝的微分與差分是一樣的。
她說完話就將自動鉛筆在指間旋轉。
將連續世界的微分與離散世界的差分並排比較，爲了讓對比性增強，所以寫得很繁瑣。
「不具體說明就無法傳達。」不用抽象的f0;1;，要用具體的函數來思考。
<4次遞降階乘>＝0;－01;0;－11;0;－21;0;－31;
乘冪遞降階乘
由於想要知道位置的變化，所以h必須儘可能地小，讓h不斷地縮小，考慮h→0的極限。
6．3．1一次函數
＝1
問題6－2
Df0;1;←→Δf0;1;
＝lim
－0;＋01;<平方>1;/0;0;＋h1;－0;＋01;1;>由微分算子D的定義得到
微分。
……「要怎麼做？」我因爲米爾迦的問題陷入沉思，要如何才能讓微分與差分互相對應，但是並沒有想到什麼好辦法，在確定我沒有要回答的意思之後，米爾迦用和緩的語調緩緩地開始說明。
間隔的差……確實是名副其實的Δ「差分」演算啊。
＝0;＋11;×－×0;－11;
<平方>＝×<2次遞降階乘>＝0;－01;0;－11;
＝lim
1;/h>整理
從＋0到＋1的變化量就是0;＋11;－0;＋01;，這時函數f的變化量當然就是f0;＋11;－f0;＋01;，在這裏也同樣取出兩者的比例一不過分母原本就是1。
……我想着米爾迦的問題，只要在離散的世界裏找出相對於連續世界『最近距離』的概念就可以了吧？我環視圖書室一圈，然後對坐在身旁的米爾迦說出：「將『最近距離』換成『最近間隔』思考沒錯吧？」這個答案，她豎起了食指回答：「沒錯」。
6．3．3三次函數<立方>
對應於連續世界的函數<平方>，定義離散世界的函數。
問題6－1
「這我也知道。」
＝0;－01;0;－11;…0;0;－0;n－11;1;1;（共n個）
在離散的世界裏沒有必要取極限，這個式子就是『離散世界的微分』，也就是差分，差分算子Δ定義如下。
Δf0;1;＝f0;＋11;－f0;1;
＝0;＋11;<平方>－<平方>整理過後
Df0;1;＝D由f0;1;＝得到
簡單地說，這就是函數f的微分，以圖形來看，就是與下圖的點0;，f0;1;1;的切線斜率，越接近斜率大的右上方，f0;1;就增加得越快，也就是說，在那個地點變化量很大。
也就是說連續世界裏<平方>對應的是離散世界的0;－01;0;－11;。
[插圖：在只有正半軸的平面直角座標系上畫一條類似於f0;1;=2<次方>的函數圖像的曲線，在圖像上任取一點0;＋0,f0;＋01;1;，過該點作切線]
若是寫得更冗長，就能更清楚地看見對應的關係。
試着計算f0;1;＝0;－01;0;－11;的差分。
「不具體說明就無法傳達。」
解6－10;差分算子Δ的定義1;
6．3．2二次函數<平方>
連續世界的微分←→離散世界的差分
她將注意力從筆記本中移開，轉頭看向我，臉上一瞬間浮現了疑惑的表情後，立刻又將視線移回算式上。
思考離散世界的時候，＋0的『最近距離』會變成＋1的『最近間隔』，不要用h→0，而是用h＝1思考，『最近間隔」就是離散世界的本質，注意到這點討論就能順利地展開。
首先是微分。
「我知道。」
啊，不過還是要好好和她說清楚。
[插圖：在只有正半軸的平面直角座標系上畫一條類似於f0;1;=2<次方>的函數圖像的曲線，在圖像上任取一點0;＋0,f0;＋01;1;，在其右側任取一點0;＋1,f0;＋11;，則兩點之間的橫向距離爲0;＋1－0;＋01;,縱向距離爲f0;＋11;－f0;＋01;]
再來思考二次函數f0;1;＝<平方>，這次微分與差分也會一樣嗎？
＝1
在這裏使用的遞降階乘n如下定義。
Δf0;1;＝0;f0;＋11;－f0;＋01;1;/0;0;＋11;－0;＋01;1;
也可以寫成下式。
＝0;0;＋11;－01;0;0;＋11;－11;－0;0;＋01;－01;0;0;＋01;－11;
對函數f的『微分』寫作Df，換句話說，微分算子D定義如下。
也可以定義成下面的式子，畢竟是同樣的東西，無論如何，微分算子D就是從函數中再做出函數的高階函數。
「她是我國中時的學妹，然後……」
Δf0;1;＝Δ0;－01;0;－11;
爲了讓
這個乘冪的對應更清楚，就以新的
這個遞降階乘來思考吧，對應的狀況就像這樣。
「米爾迦，上次坐在我旁邊的那個女孩……」
首先是微分。
Df0;1;＝lim
※※遞降階乘的定義0;n爲正整數1;
＝0;0;0;＋11;<平方>1;－0;＋01;<平方>1;/0;0;＋11;－0;＋01;1;由微分算子D的定義得到
「然後，有時候我會教她數學。」
＝2
Df0;1;＝D<平方>由f0;1;＝得到
◎◎◎
<2次遞降階乘>＝0;－01;0;－11;
然後是差分。
那這次思考f0;1;＝<立方>。
「沒錯。」
6．3微分與差分
其實原本就無法用離散世界的<平方>來對應連續世界的<平方>，需要用在離散世界中替代<平方>的這個函數來思考。
＝2
[插圖：畫2條橫向直線，上面一條畫爲實線，下面一條畫爲虛線。每條直線上任取一點，在其右任取一點＋h，則實線上兩點之間的距離爲「連續世界的『最近距離』」，虛線上兩點之間的距離爲「離散世界的『最近間隔』」]
Df0;1;＝lim<→0,0;f0;＋h1;－f0;＋01;1;/0;0;＋h1;－0;＋01;1;>
＝0;＋11;－0;＋01;由微分算子D的定義得到
f0;1;＝0;－01;0;－11;
＝lim
將h約分
舉例來說：
她仍然注視着筆記本。
<1次遞降階乘>＝0;－01;
＝lim
對應連續世界的微分算子D，定義離散世界的算子。
「你之前說過了。」
<平方>的微分是2，但是差分卻是2＋1，和剛纔f0;1;＝不一樣，這次的微分與差分並不一致，這樣就太無趣了，要怎麼做才能讓它們互相對應呢？
6．2差分
解答6－20;離散世界的<平方>1;
你看，這樣就和微分一樣了。
然後是差分。
「……」
◎◎◎
Δf0;1;＝Δ<平方>由f0;1;＝得到
Df0;1;＝D<立方>
＝lim
1;－0;＋01;<立方>1;1;/0;0;＋h1;－0;＋01;1;>
＝lim
＋3<平方>h＋3h<平方>＋h<立方>1;－<立方>1;/h>
＝lim
h＋3h<平方>＋h<立方>1;/h>
＝lim
＋3h＋h<平方>1;>
＝3<平方>把不包含h的項留下
在離散的世界中，對應<立方>的是<3次遞降階乘>＝0;－01;0;－11;0;－21;，現在來計算<立方>的差分。
Δf0;1;＝Δ<3次遞降階乘>
＝Δ0;－01;0;－11;0;－21;
＝0;0;＋11;－01;0;0;＋11;－11;0;0;＋11;－21;－0;0;＋01;－01;0;0;＋01;－11;0;0;＋01;－21;
＝0;＋11;0;－01;0;－11;－0;－01;0;－11;0;－21;
＝0;0;＋11;－0;－21;1;0;－01;0;－11;提取因式
＝30;－01;0;－11;
＝3<平方>
使用遞降階乘
的話，就能讓微分與差分充分對應。
<立方>←→<3次遞降階乘>＝0;－01;0;－11;0;－21;
D<立方>＝3<平方>←→Δ<3次遞降階乘>＝3<平方>
廣義化。
的微分←→
的差分
D
＝n
←→Δ
＝n
※※解答6－30;指數函數1;
「喔……要直接一點？問題需要寫出必要的重點以及維持適當的長度，還要形式化、定義用語、沒有曖昧、威嚴中帶有香氣、能打動心靈……像這樣嗎？」
先不管這個……
∫t＝<平方>/2←→∑t=0;<2次遞降階乘>1;/2
我們對微分算子定義了差分算子，再來爲了讓微分與差分完：對應，對乘冪。定義了遞降階乘。
以差分算子Δ的定義將左邊展開。
e<次方>2<次方>
指數函數e<次方>如同式子所示，是定數e的次方函數，定數e是被稱爲自然對數的底的無理數。其值爲2.718281828……雖然這是一個重要的知識，不過現在要站在更廣的視點來看它。
在兩個世界不斷來回的旅程讓人感到無限自由，這種快樂到底是從那裏來的呢？
高中二年級的冬天。
「名字是？」
n的話有幾種0;>＝？1;
米爾迦的數學很好，我雖然也不差，卻贏不了她，每當我在圖書室享受推演算式的樂趣時，她就會湊過來發表意見，並拿走我的自動鉛筆擅自在我的筆記本上書寫，然後開始演講，不過這種時光也不會讓人覺得不愉快……
E0;＋11;＝2×E0;1;
利用『即使微分仍然不會改變』這個性質，在使用微分算子D後，可以用下面這個微分方程式表現。
「咦？啊，不是不是，當然米爾迦什麼時候要坐我旁邊都行，要什麼都可以，我只是想說不要再踢她椅子了……」
∫←→∑
E0;01;的性質要怎麼定義呢？由於e<0次方>＝1，所以定義成E0;01;＝1是很妥當的，由上式可得對應指數函數e<次方>的函數E0;1;定義如下。
……我回想着米爾迦的話，我們以連續世界的知識爲基礎，探索着離散的世界，與其說是追求嚴密的定義，不如說是追求合適的定義過程，思考對應微分的差分，並以此爲基礎思考對應n的n，再來以無法構成微分方程式的差分方程式找到對應e<次方>的2。
我喜歡聽米爾迦專心說話，也喜歡看她閉眼沉思，金屬框的眼鏡與她很相配，很搭配她臉龐清楚的線條……（無名之聲：怎麼不是喜歡她講述的數學？）
＝0;0;0;0＋11;＋21;＋31;
6．3．4指數函數e<次方>
◎◎◎
「那個女孩？」
在放學後的圖書室裏，我在慣用的座位上準備開始計算時，米爾迦跑了過來，她在我的面前放了一張紙，並用兩手撐着桌子站着。
所以就能做出以下的對應關係。
使人感到完全沒有錯誤的完美解法，
「回到數學上吧，再來要思考什麼呢？」米爾迦說。
「從村木老師那裏拿來的問題。」她回答。
最後得到這個式子。
2的話2種0;C<2>＝21;
3的話5種0;C<3>＝51;
是怎麼樣才能想到的呢？
此遞推公式對0以上的整數會成立，這是函數E0;1;的性質。當括號中減少1，就會對應乘2，這樣就能簡單地解開這個遞推公式。
ΔE0;1;＝E0;1;
不，比起這些，還是先回到問題上吧。她正在窗邊思考答案，似乎是已經到達遞推公式了，如果是她的話，或許很快就解決了。
「這是什麼？」我問。
De<次方>＝e<次方>
∫t
＝
/n＋1←→∑t
=0;
1;/0;n＋11;
「等一下，米爾迦，你是什麼時候拿到這個的？」
＝2×2×E0;－11;代入E0;1;＝2×E0;－11;
＝2＋1×E0;01;
7．1．1米爾迦
◎◎◎
而現在要開始討論指數函數e<次方>，也就是尋找離散世界的指數函數。
＝0;0;0＋11;＋0;2＋31;1;
※※問題6－3
0＋1＋2＋3＋……＋n＝？
1的話1種0;C<1>＝11;
D←→Δ
＝2×2×2×E0;－21;代入E0;－11;＝2×E0;－21;
「我知道了。」米爾迦抬起頭打斷我的話，不曉得爲什麼她會露微笑，「你會在圖書室教你的學妹×蒂德菈數學，我記住了，不用擔心。」
E0;1;＝2
在思考『微分差分』之後，這次換『積分和分』吧，這裏只寫出結果。
整理之後得到遞推公式。
聽着米爾迦的話，讓我覺得雖然我沒有辦法在她的『最近距離』，但是我希望至少能在她的『最近間隔』。
∫1＝←→∑1＝
離散世界的指數函數是2的乘冪，不覺得對應地非常恰當嗎？
E0;＋11;＝2＋1×E0;01;
嗯～～到底是什麼不用擔心啊？
「……所以……我不能坐在你旁邊了？」米爾迦邊寫筆記本邊問。她並沒有看我。
「就是這樣。」我說。
＝2×2×2×2×E0;－31;代入E0;－21;＝2×E0;－31;
＝……
＝0;0;0＋11;＋21;
對於連續世界的指數函數e<次方>，定義離散世界的函數。
在這裏稍微思考一下與微分關聯的指數函數的本質。
（JoyJ：以下部分很怪異，憑我的知識水平無法理解，因此基本照原樣打出來，請海涵。即，此節內容與文本開頭處的“TT格式說明”不對應）
0＋1＋2＝0;0＋0;1＋21;1;
＝0;0;0＋0;1＋21;1;＋31;
6．4面往返於兩個世界的旅程
0＋1，0＋1＋2，0＋1＋2＋3，……的式子，還有括號，因爲有寫着1的話1種，2的話2種，3的話5種，所以是要求括括號方法的總數，目標是求出0＋1＋2＋3＋……＋n這個式子括括號方法的總數。
指數函數e<次方>最重要的性質就是『即使微分仍然不會改變』，也就是微分e<次方>所得到的函數仍然是e<次方>，不過本來就是爲此定義出定數e的，會有這種結果也是理所當然。
「開玩笑就到此爲止，我的遞推公式就快完成了。」
7．1圖書室
∫t
＝
/n←→∑t
=0;
1;/n
0＋1＋2＋3＝0;0＋0;1＋0;2＋31;1;1;
第7章折積
如果以∫是羅馬文字的S，∑是希臘文字的S來想的話，對比就更有意思了，連續的世界是羅馬，離散的世界是希臘啊。
我和米爾迦同樣是高中二年級的學生，我們的數學老師村木老師有時候會出問題給我們，雖然老師有點奇怪，不過似乎滿中意我們的。
到底要怎麼做，我才能想到或發現那些東西呢？
將要解的問題整理一下吧。
E0;＋11;－E0;1;＝E0;1;
連續世界離散世界
※※問題7－1
又是如何被發現的呢？
E0;＋11;＝2×E0;1;
指數函數e，在連續世界中有什麼樣的性質呢？
「蒂德菈，她之後也會繼續來找我問問題……」
0＋1＝（0＋1）
使人感到充分展現事實的完美實驗，
「午休到教師辦公室的時候，雖然有點偷跑。不過我已經確實交給你了，你從頭開始吧，我到別的地方想，拜拜。」
.
米爾迦揮揮手，優雅地移動到窗邊的座位，我的目光沒有離開她。窗外是一棵棵已經落葉的梧桐樹，更遠的地方則是一片藍天，天氣雖然晴朗，卻相當地寒冷。
「米爾迦，剛纔我說過的那個女孩，之後也會繼續來問問題……」
到這裏爲止是關於連續世界的指數函數。
∫t<平方>＝<立方>/3←→∑t<2次遞降階乘>=0;<3次遞降階乘>1;/3
「看過這個問題嗎？」
現在開始要進入離散世界，將接下來要求的離散世界的指數函數稱爲E0;1;，於是就會希望讓E0;1;具有『即使差分仍然不會改變』的性質，這個性質在使用差分算子Δ後，可以用下面式子表現，這次是差分方程式。
「這題目好長，要是能再直接一點就好了。」我邊將目光離開紙上邊抱怨。
＝0;0＋0;0;1＋21;＋31;1;
「我的學妹。」
在這裏以∫代表全部的∫<,0>，以∑代替全部的∑<=1,t=0>，只是象徵性的話，以下的對比是可能成立的。
紙上這麼寫着。
——波利亞[1]
n代表什麼呢？算式0＋1＋2＋3＋……＋n從0開始表示共加了n＋1個數，n可以代表0＋1＋2＋3＋……＋n這個式子裏『加號0;＋1;的個數』。
括括號的規則又是什麼？在加號左右的式子稱爲項——兩邊各取一個數，也就是會像0;0＋11;或0;0＋0;1＋21;1;這種2項的和0;或是類似的組合1;。但是不考慮0;0＋1＋21;這種3項的和。
那按照理論，先從實例開始，題目寫出了n＝1，2，3的狀況，所以就先從n＝4開始，呃……出乎意料地多。
0＋1＋2＋3＋4＝0;0＋0;1＋0;2＋0;3＋41;1;1;1;
＝0;0＋0;1＋0;0;2＋31;＋41;1;1;
＝0;0＋0;0;1＋21;＋0;3＋41;1;1;
＝0;0＋0;0;1＋0;2＋31;1;＋41;1;
＝0;0＋0;0;0;1＋21;＋31;＋41;1;
＝0;0;0＋11;＋0;2＋0;3＋41;1;1;
＝0;0;0＋11;＋0;0;2＋31;＋41;1;
＝0;0;0＋0;1＋21;1;＋0;3＋41;1;
＝0;0;0;0＋11;＋21;＋0;3＋41;1;
＝0;0;0＋0;1＋0;2＋31;1;1;＋41;
＝0;0;0＋0;0;1＋21;＋31;1;＋41;
＝0;0;0;0＋11;＋0;2＋31;1;＋41;
＝0;0;0;0＋0;1＋21;1;＋31;＋41;
＝0;0;0;0;0＋11;＋21;＋31;＋41;
竟然有14種，也就是4的話會有14種。
我在寫的時候發現到規則，快找到有關「括括號方法的總數」的遞推公式了。
舉出實例後，接下來就是廣義化，問題中當加號有n個時則將「括括號方法的總數」設爲>，剛纔加號有4個，所以是C<4>＝14，到目前爲止知道的有C<1>＝1，C<2>＝2，C<3>＝5，C<4>＝14，啊，也將C<0>＝1算進去，列出來就會出現下面的表。
在這個分類裏，還是有像0;A＋A＋A＋A1;一樣還沒括完括號、依然是3項以上的和，不過加號的個數越變越少，所以可以帶入之前的形式，嗯，這樣似乎就能做出遞推公式了。
令n爲1以上的整數，展開下面的式子。
C<2>＝Σ
C<1－k>>＝C<0>C<1>＋C<1>C<0>＝2
從這裏開始發展成「類別的個數」。將「有n個加號的式子的括括號方法的總數」以>表示的話，就能做出對>的遞推公式。
>112514……
7．1．3遞推公式
0;A＋A＋A＋A＋A的形式1;
7．1．2蒂蒂
趕快來驗算吧。
蒂蒂突然打了一個大噴嚏。
這樣終於來到剛纔米爾迦說的。遞推公式就快完成了」的階段，還真花了不少時間啊。
到這裏都沒問題，接下來就試着將這個公式對指數廣義化，也就是並非平方或三次方，而是『n次方的公式』，就是要求0;＋y1;n的展開式的意思。
然後進入廣義化的過程，現在開始要求的就像下面這個式子。
0;0;A＋A1;＋0;A＋0;A＋A1;1;1;
「不、不會不會，沒關係，只是有點事想問而已。」蒂蒂邊向我搖手邊後退三步。「打擾到你就不好了，所以等你要回去的時候再……今天也會待到關門嗎？」
喔，話說回來米爾迦呢？
出現了漂亮的式子了，在這裏使用Σ讓結構能更清楚呈現。
0;0;A＋A1;<+>0;A＋A＋A1;1;
很好，這樣遞推公式就完成了。
0;＋y1;
＝
＋……＋y
「好的，呃……這是對於和y的恆等式吧。」
n01234……
＋1>＝Σ
－k>>0;n≥01;
C<4>＝Σ
C<3－k>>＝C<0>C<3>＋C<1>C<2>＋C<2>C<1>＋C<3>C<0>＝14
「是的，今天早上匆匆忙忙地從家裏出來……」哈啾，她的鼻子又發出聲響。
0;0;A＋A＋A＋A1;<+>0;A1;1;
「學長，『廣義化』是什麼呢？」蒂蒂用閃亮的雙眼、開朗的聲音向我發問。
＋1>＝C
－k>0;n≥01;
「謝、謝謝……哇，好溫暖……不過這樣就變成學長會冷了吧。」
嗯，看出來了，最後的加號——也就是要注意最後纔會加到的加號在哪裏，以上式爲例，從左邊數來第二個是最後的加號，整個式子會根據最後的加號分成左右兩個式子，將加號的位置從左邊開始順序移動的話，就能做出排他性質的類別，有4個加號的式子可以區分成以下4種，如果在最後的加號做上<>，會像下面一樣。
「學長，快點～～」轉頭喊我的蒂蒂吐出白色的氣息。
嗯，這是將＋y這個式子平方並展開後的樣子表現出來，下個式子是三次式。
我與蒂蒂並肩往車站走去，雖然在那之後有試着找過米爾迦，不過我到處都找不到她，而且連書包也消失，應該是回去了，真奇怪，就算已經解開了村木老師的問題，要回去也要先打聲招呼吧。
可以用下列算式取代。
蒂蒂輕巧地踏穩腳步，在敬禮之後向右轉，直接走出圖書室，不過她在出去的那一瞬間偷偷瞄了米爾迦一眼。
已經知道會出現
項和y
項，之後只要把
＋……＋y
的……部分填起來就好。
「這個借你，方便的話就用吧。」我把自己的圍巾拿給她。
「是啊，我想應該會待到瑞谷管理員來宣佈閉校爲止，要一起回去嗎？」
C4＝C<0>C<3>＋C<1>C<2>＋C<2>C<1>＋C<3>C<0>
0;＋y1;<1次方>＝＋y
爲了要做出遞推公式，就必須看穿『括括號方法』背後的構造，然後找出規則性。由於這個式子有四個加號，所以先彙整成3個加號以下的狀況，也就是說……
1個加號2個加號
「在廣義化的時候常常會出現新的變量，也可以說是『導入變量而形成的廣義化』。」
C<1>＝Σ
C<0－k>>＝C<0>C<0>＝1
C<5>應該也會變得更大，那麼，下一步就是「做出對>的遞推公式」了，做出來後，最後的目標就是「做出對於n，>的閉公式」。
例如這個公式。
正當着手開始做出遞推公式時，一位女孩從圖書室的門口跑了過來。
0;＋y1;<立方>＝<立方>＋3<平方>y＋3y<平方>＋y<立方>
「咦？……唉呀！不是、不是啦，我不是那個意思……」她慌張趕搖手，而我只是嘻嘻笑着。「說、說到這裏，剛纔的『對任意整數皆成立的公式』，能再講得更清楚一點嗎？」蒂蒂趕緊將話題拉回來，她邊揮着手邊重新站好。
＋1>＝C<0>－0>＋C<1>－1>＋……＋C
－k>＋……＋－0>C<0>
0;0;A＋A1;＋0;A＋0;A＋A1;1;1;——加號有四個
轉頭看了一下，她已經不在了。
0;0;A＋A＋A1;<+>0;A＋A1;1;
0;A＋A的形式1;<分別對應於>0;A＋A＋A的形式1;
從0到4有5個數，中間有4個加號。仔細想想，現在要求的是「括括號方法的總數」，所以那些數字本身並沒有意義。也就是說：
C<0>＝1
0;A＋A＋A＋A的形式1;<分別對應於>0;A的形式1;
有以下類別。
0;0;A1;<+>0;A＋A＋A＋A1;1;
※※C<0>＝1
管理員瑞谷老師過來提醒大家。老師一向穿着緊身裙，戴着容易被誤會成太陽眼鏡的深色眼鏡。平常會待在最裏面的管理員室，時間到了就會無聲無息地出現在圖書室中央，提醒大家閉校時間到了。瑞谷管理員就像時鐘一樣。
0;＋y1;
這種模式，也可以用這種情況來看。
0;0;A＋A1;＋0;A＋0;A＋A1;1;1;
「有時間，有時間。」蒂蒂突然加快腳步追過我，圍着層層圍巾的她看起來非常可愛。
是蒂蒂。
蒂蒂是高中一年級的學生，總之就是我的學妹，她會像小松鼠或是小狗、小貓一樣地黏着我，常常跑來問我一些數學的問題，不只是針對不懂的問題，也會提出根本上的疑問，雖然有點黏人，不過也不算是困擾。
0;A＋A＋A的形式1;<分別對應於>0;A＋A的形式1;
「好的好的，不過因爲走路時沒辦法寫算式，這樣不好說明，假如你有時間的話，我們到『Beans』解釋吧。」
0;＋y1;<平方>＝<平方>＋2y＋y<平方>
0;A的形式1;<分別對應於>0;A＋A＋A＋A的形式1;
不對，不是要記起來，而是要思考、思考。
「很急嗎？」
首先在廣義化之前，先將知道的具體知識整理一下，舉出實例，然後觀察它，這也是確認自己對問題是否已經理解了，『舉例是理解的試金石』，將0;＋y1;
以n＝1，2，3，4代入，就會像下面的式子。
「變數n……」
也就是C<4>能寫成下面式子。
7．3於『Beans』演算二項式定理
7．2於回家的路上將其廣義化
C<0>＝1
0;＋y1;<4次方>＝<4次方>＋4<立方>y＋6<平方>y<平方>＋4y<立方>＋y<4次方>
「對任意整數n皆成立的公式……嗎？」
「……對不起，我記不住。」蒂蒂說。
那麼，回到「括括號方法的總數」的遞推公式。
有四個加號的形式，也就是說：
「對不起，要是能『平分』圍巾就好了。」
「要用一般的方法說明廣義化並不容易，想想數學公式好了，想象有2或是3這種具體的數字構成的公式，將這樣的公式變換成對任意整數n皆成立的代表性公式就稱爲『廣義化』。」
0;0;0＋11;＋0;2＋0;3＋41;1;1;
「啊～～學長。」蒂蒂跑到我的身旁，慌慌張張地開口：「已經開始用功了，我太慢了嗎？」
「現在是閉校時間。」
「……這就太大膽了……」
天色雖然有點昏暗，不過路燈仍未亮起，我們走在住宅區間的複雜小路上。這是從學校到車站的最短距離，蒂蒂平常雖然都蹦蹦跳跳的，不過在回家的時候卻會不可思議地慢慢走，我也只好配合着她的步調。
0;＋y1;<平方>＝<平方>＋2y＋y<平方>
C<0>×C<3>，C<1>×C<2>，C<2>×C<1>，C<3>×C<0>
0;＋y1;<立方>＝<立方>＋3<平方>y＋3y<平方>＋y<立方>
C<3>＝Σ
C<2－k>>＝C<0>C<2>＋C<1>C<1>＋C<2>C<0>＝5
我偷偷地看向窗邊，米爾迦面對桌子坐着，並將注意力集中在紙上，由於她背對着我，所以看不到她的表情，而她也沒有任何動作。
「分別對應於」的意思就是對應到「方法的總數」的積，在n＝4的狀況，也就是以C1來表現式子時，C4會是下面4項的和。
「會冷嗎？話說回來……你沒圍圍巾啊。」
「好的，請務必讓我陪同，那我先告辭了。」
※※問題7－2
在車站前的『Beans』裏，我們一邊喝着咖啡，一邊展開算式。
1，1，2，5，14，和一開始的實例吻合。
不錯，這樣就能廣義化了。
「沒關係沒關係。」
「對，並不是對2或是3這種個別數字的公式，整數有無限個，並無法對2，3，4，……等等一一列舉，應該說雖然可以列舉，但是無法表現出全部，所以用含有變量n的方式替代，然後變量n可以代換任何整數皆成立。這就是『對任意整數皆成立的公式』。用『對所有整數皆成立』來表示也可以。」
再來思考下面這式子吧。
0;＋y1;<1次方>＝0;＋y1;
0;＋y1;<平方>＝0;＋y1;0;＋y1;
0;＋y1;<立方>＝0;＋y1;0;＋y1;0;＋y1;
0;＋y1;<4次方>＝0;＋y1;0;＋y1;0;＋y1;0;＋y1;
0;＋y1;
＝0;＋y1;0;＋y1;0;＋y1;……0;＋y1;
n個
「這我就懂了，就是把0;＋y1;乘n次。」
是啊，所以當n個0;＋y1;互乘的時候，就是從每一個0;＋y1;中選出或是y來乘，譬如說三次方，就是從三個0;＋y1;中各自選出1個或y，思考全部的選擇方式，將選擇的部分以<>作記號。
0;<>＋y1;0;<>＋y1;0;<>＋y1;→＝<立方>
0;<>＋y1;0;<>＋y1;0;＋
1;→y＝<平方>y
0;<>＋y1;0;＋
0;<>＋y1;→y＝<平方>y
0;<>＋y1;0;＋
1;0;＋
1;→yy＝y<平方>
0;＋
1;0;<>＋y1;0;<>＋y1;→y＝<平方>y
0;＋
1;0;<>＋y1;0;＋
1;→yy＝y<平方>
0;＋
1;0;＋
1;0;<>＋y1;→yy＝y<平方>
0;＋
1;0;＋
1;→yyy＝y<立方>
這樣就全部列出來了，然後將這些全部相加
＋y＋y＋yy＋y＋yy＋yy＋yyy＝<立方>＋<平方>y＋<平方>y＋y<平方>＋<平方>y＋y<平方>＋y<平方>＋y<立方>
就變成
普通階乘n！的遞降階乘寫成……
米爾迦和我曾尋找過斐波那契數列的一般項，那時候她將數列與生成函數做了對應，我們在兩個國度——『數列之國』與『生成函數之國』中環繞。
＋0;1;
y
＝n
/k
這就是我們要求的式子，從0;＋y1;0;＋y1;0;＋y1;展開的「和的積」，變成<立方>＋3<平方>y＋3y<平方>＋y<立方>這種「積的和」；反過來說將「積的和」變成「和的積」就是因式分解。
0;1;
＝0;0;n－01;0;n－11;…0;n－0;k－11;1;1;/0;0;k－01;0;k－11;…0;k－0;k－11;1;1;
使用遞降階乘，就可以將0;1;
表現得更漂亮。
那繼續吧，要從0;＋y1;中選出或y其中之一，那麼『全部選擇的選法』會有幾個呢？
＋……
＝0;1;<4,0><4次方>y<0次方>＋0;1;<4,1><立方>y<1次方>＋0;1;<4,2><平方>y<平方>＋0;1;<4,3><1次方>y<立方>＋0;1;<4,4><0次方>y<4次方>
0;＋y1;
＝Σ
y
>
＋1>＝C
－k>0;n≥01;
我想用這種解法來解開這次的問題。
<組合,n,k>＝n!/0;k!0;n－k1;!1;
答對了，正確答案，那接下來是廣義化囉，『有n－k個，y有k個的選法』有幾個？
假如不安的話，也可以將Σ表示的項具體地寫出來，k＝0的時候、k＝1的時候、k＝2的時候，在習慣之前這很重要。
＋……
看，是一樣的。
＋0;1;
y<1次方>
※※0;求閉公式的旅行地圖1;
7．4於自家中解生成函數的積
<立方>＋3<平方>y＋3y<平方>＋y<立方>
＝0;1;
y<0次方>
※※解答7－2
蒂蒂將式子一個個確認之後點點頭說：「雖然公式裏出現一堆文字會讓人覺得『啊，好煩』，不過一想到這是廣義化的結果，就覺得可以接受，會有一堆文字也是沒辦法的事。」
＝0;－01;0;－11;0;－21;……0;－0;n－11;1;——共n個因式
＝＋y
0;＋y1;<1次方>＝Σ
y
>
「是的，不過……n－k和k交錯在一起，要分辨也很麻煩。」
＝0;5×4×31;/0;1×2×11;
k＝5｜yyyyy
夜深了，家人也都睡了，我獨自在房間靜下來思考。>的遞推公式已經完成了。
0;＋y1;<平方>＝Σ
y
>
「好，我知道了，還有一個問題，組合我記得是……
對，組合，用y選擇k個，選擇n－k個的情形來作組合的話，就會如下式。
數列>→生成函數C0;1;
嗯，爲了取代無限個具體的公式，而用了n這個變量替代，這就是廣義化的公式。在各項的部分也用了k這個變數來廣義化。
「呃，嗯，n是0;＋y1;的個數的話，那k是什麼？」
＋0;選1個y1;
數列←→生成函數
這和學長的式子不太一樣。」
＝0;5×4×3×2×11;/0;3×2×1×2×11;
0;＋y1;<4次方>＝Σ
y
>
＋……
「原來如此，我終於懂了……總覺得，y，y，……，yyy這些的排列方式好像有規則性。」
沒錯，將全部n次方分配到與y上，就像『平分』圍巾一樣。
嗯，很敏銳喔，蒂蒂。
C<0>＝1
k＝2｜yy
＋0;選k個y1;
不，假如將0;n－k1;!的部分約分之後就會發現其實是一樣的、譬如說，從5個裏面選出3個……
「啊……不過沒想到會在這裏用到組合，讀機率的時候，練習選紅球和白球的問題時，計算中有一堆乘法讓我印象深刻，演算變得像在練習約分一樣，不過沒想到在算式展開當中會以這種方式用到組合。」
組合若是用遞降階乘表現會更清楚。所謂的遞降階乘寫作
，是從第n階的階梯不斷下降的積喔，也就是說像這樣。
<組合,n,k>＝0;1;
「學長，我有問題。」蒂蒂舉起右手，「『0;1;
』是什麼呢？組合的話是<組合,n,k>吧，假如是這個的話我還懂……」
＋0;1;
y
＝0;0;n－01;0;n－11;…0;n－0;k－11;1;1;/0;0;k－01;0;k－11;…0;k－0;k－11;1;1;
0;1;
＝n
/k
＝0;1;<5,3>
接下來就是驗算了，思考具體的例子，廣義化後，在完成前一定要驗算，在這裏不能偷懶，用n＝1，2，3，4確認。
「學長……出現了Σ，似乎突然變得很難了……」
我打開筆記本，一邊搜尋記憶一邊開始寫下。
<組合,5,3>＝5!/0;3!0;5－31;!1;
＝5!/0;3!2!1;
k＝4｜yyyy
「嘿嘿。」她害羞地伸了伸舌頭。
沒錯，那麼『有n－1個，y有1個的選法』呢？
＝n!/0;k!0;n－k1;!1;
k＝3｜yyy
「學、學長！你還記得這個話題啊……」
※※從n箇中選k個出來組合的個數
數列>的閉公式←生成函數C0;1;的閉公式
「嗯，最右邊選y，其它選，右邊數來第二個選y……這樣的話會有n個。」
當得到數列a<0>，a<1>，a<2>，……，a
……之後，就將數列各項的係數以a<0>＋a<1>＋a<2><平方>＋……＋a
＋……形式的冪級數來表現，這就是生成函數，然後以下面的對應關係，將數列與生成函數視爲一樣的東西……
＝<立方>＋3<平方>y＋3y<平方>＋y<立方>
0;＋y1;n＝0;選0個y1;
k＝6｜yyyyyy
＝0;1;<1,0><1次方>y<0次方>＋0;1;<1,1><0次方>y<1次方>
＋0;選n個y1;
我和米爾迦使用生成函數求得斐波那契數列的一般項，就像原本捧在手上快要散落的數列，被名爲生成函數的一條線串了起來，那真是一次難以言喻的經驗。
0;＋y1;<立方>＝Σ
y
>
↓
這就是
y
的係數。
n!＝n
k＝0｜
＝<平方>＋2y＋y<平方>
「是的，0;1;
和nCk完全一樣，在數學的書裏，組合很常寫成0;1;
。另外，矩陣和向量的寫法也很類似0;1;
，不過和組合沒有關係。」
「嗯，一定要選的話……就只有1個。」
一開始就算知道這個展開還是不容易記憶，不過有自己動手導出公式的經驗就不會太難記了，不斷練習讓自己導出公式的話，就會在不知不覺中記住，之後就不需要再慢慢導了……雖然這是反過來的說法，不過也頗有趣的。
k＝1｜y
＝0;1;<2,0><平方>y<0次方>＋0;1;<2,1><1次方>y<1次方>＋0;1;<2,2><0次方>y<平方>
a<0>，a<1>，a<2>，……，a
……←→a<0>＋a<1>＋a<2><平方>＋……＋a
＋……
抱歉，稍微離題了，回到主題吧，已經得到0;＋y1;n的展開式了，爲了將規則性表現出來會寫得稍微冗長一點。
如此對應的話，就可以將無窮的數列以一個生成函數呈現，而且若是將生成函數以閉公式表現，就會得到數列一般項的閉公式這個令人讚歎的結果。
注意每一項變化的部分，用Σ來表現就會得到下列的式子，這是二項式定理。
這是很好的問題，k是爲了要廣義化而導入的變量，表示選擇y的個數，k爲整數，並滿足0≤k≤n的條件，剛纔我們討論的是k＝00;全部選擇的選法1;和k＝10;y有1個的選法1;的情形。
「呃、這個……」
＝<4次方>＋4<立方>y＋6<平方>y<平方>＋4y<立方>＋y<4次方>
「所以這就是從n個裏面選出k個的情形，因爲選擇的順序已經決定好了，所以是組合……吧。」
而我接下來想嘗試一樣東西，那就是生成函數的解法。
「啊……從到y慢慢地移動。」
0;＋y1;
的展開0;二項式定理1;
＋……
不要將n－k和k分開思考，而是要想『和就是n』，然後在這個和中從0到n間取平衡，一開始的指數是n最大，這時y的指數是0最小，然後的指數每減1，y的指數就加1，最後的指數變成最小的0，y的指數是最大的n，要像這樣思考，而k就是中間平衡的位置。
＝0;1;<3,0><立方>y<0次方>＋0;1;<3,1><平方>y<1次方>＋0;1;<3,2><1次方>y<平方>＋0;1;<3,3><0次方>y<立方>
由n個加號構成的式子設成>，則得數列C<0>，C<1>，C<2>，……，>……。
再將此數列之生成函數設爲C0;1;，是爲了不讓數列混亂的形式上變數，
的指數n會與>的n對應，則C0;1;會如下所示。
C0;1;＝C<0>＋C<1>＋C<2><平方>＋……＋>
＋……
以上是生成函數的定義，到這裏爲止還不需要動腦筋，沒錯，要到生成函數的國度是很簡單的。
要動腦的部分從現在纔開始。
現在我手上擁有的武器只有>的遞推公式而已，下一步是要用遞推公式求C0;1;的閉公式，我想求出C0;1;的『對的閉公式』，而這個式子應該不會出現n。
不過，這次的遞推公式不像斐波那契數列那時候一樣單純，那時候確實是在生成函數中乘上，然後不斷地『移動』係數，最後相加相減纔將n消掉。
但是這次的遞推公式＋1>＝Σ
－k>>相當麻煩，是在C
－k>這個積上再加入了Σ，形成繁瑣的『積的和』形式。
嗯？
「積的和」……嗎？
而且是C
和－k>這種「標記之和爲n」的形式……嗎？
原來如此。
我想起自己對蒂蒂說過的話了。
……不要將n－k和k分開思考，而是要想『和就是n』，然後在這個和中從0到n間取平衡……
這次的遞推公式也很類似，C
和－k>的標記之和爲n，然後爲了和的平衡，k會在0與n之間變動。
現在知道的遞推公式＋1>＝Σ
－k>>是這樣表現的，假如能好好運用Σ
－k>>作成「積的和」的形式，就可以用這樣比較單純的項置換。
仔細想想，有哪些場合會出現「積的和」。
……將0;＋y1;0;＋y1;0;＋y1;這種「和的積」變成<立方>＋3<平方>y＋3y<平方>＋y<立方>這種「積的和」，這就是展開……
將「和的積」展開，就會變成「積的和」嗎？
好。
（（＊＊（＊（＊
這樣思考的話，通過◎的方法數就會和從S到G’的方法數一對一對對應，從縱向橫向都是2n的道路，變成橫向n＋1的道路來算組合，也就是變成0;1;<2n,n＋1>。
7．5．1米爾迦的解
將右邊的加入∑中。
由於只有生成函數C0;1;，所以先試試看平方會出現什麼呢？生成函數如下。
被打斷話的米爾迦嘟起嘴抱怨：「我還沒說完啊。」
常數項是C<0>C<0>，項係數是C<0>C<1>＋C<1>C<0>，<平方>項係數是C<0>C<2>＋C<1>C<1>＋C<2>C<0>啊。
我導出了生成函數C0;1;的閉公式。
求出來了！
由於這是C0;1;<平方>這個式子的「
的係數」，所以C0;1;<平方>這個式子就會變成二重和的形式……寫成……
要注意標記的部分，而在C
－k>中，左邊的k漸漸變大，右邊的n－k漸漸變小，k在0到n的範圍內移動。
不過不管怎麼說，n都已經消掉了。
Σ
－k>>
「我沒有用遞推公式來解，因爲我找到了更好的對應。」
喔～～二重和變成一般的和了。
這樣就把n消掉了！
「以n＝4來舉例。
可以將生成函數C0;1;的平方大幅簡化了，將C
－k>用＋1>替換吧。
×C0;1;<平方>＝Σ
>
那麼，從S到G之間曾經通過◎一次以上的方法數又有多少呢？
關鍵似乎就是積了，試試看生成函數的積吧，動手算或許就能發現什麼。
[插圖：畫一個4格×4格的表格，每格均爲正方形。左下角一點爲S，右上角一點爲G。在最左一列的每格左側寫一個（，在最上一列的每格上方寫一個＋。之後從左下角沿表格線描箭頭：上上右右上右上右，從S點一直描到G點]
「原本想用遞推公式的……」米爾迦先開口：「……不過中途改變方針了。」
然後將n＋1全部置換成n。
×C0;1;<平方>＝×Σ
>
C0;1;<平方>＝Σ
－k>>
>
之後就是將這個閉公式以冪級數展開就好。
◎◎◎
很好，這樣右邊的就幾乎等於生成函數C0;1;了，只需要將>的部分減掉。
將第一次碰到◎的地方設爲P，在通過P之後將前進的方向政變，把斜虛線當成鏡子，從P→G之間原本是→的話就改成↑，原本是↑的話，就改成→，也就是說終點不是G而是G’。
＋1>
米爾迦的嘴脣微微上揚露出微笑。
很順利。
換句話說，下式會成立。
C0;1;＝0;1±<根號1－4>1;/2
×C0;1;<平方>＝C0;1;＋1＝0
C<0>>＋C<1>－1>＋……＋C
－k>＋……＋－1>C<1>＋>C<0>
從8個符號裏（括號與加號各4個），選出變爲括號前半的4個演算組合就是0;1;<8,4>，這是n＝4的情況，廣義化則是從2n個文字中（括號與加號各n個1;，選出變爲括號前半的n個作組合，也就是0;1;<2n,n>……像這樣組合的話，也等同於下圖中方格路徑的最短路線，從左下的S開始，到右上的G，箭頭指的道路對應（（＋＋（＋（＋的文字列。」
×C0;1;<平方>＝C0;1;－C<0>
可以置換成以下這個單純的項。
＝C0;1;<平方>＝Σ
>
然設將其中4個變成括號前半。
0;2n1;
＝0;2n1;×0;2n－11;0;2n－21;……0;n＋11;×0;n1;
C0;1;＝C<0>＋C<1>＋C<2><平方>＋……＋>
＋……
當加號數量超過括號數量的時候，就會像你說的一樣，也就是上圖中通過◎的狀況，不通過◎而從S到G的方法數纔會等於>。
所以平方的話……會變成這樣。
「說得更明白一點，數字根本就不必要，可以直接變成……
（（＋＋＋＋（（
＝0;2n1;
×0;n1;
0;0;0＋1＋0;2＋0;3＋4
0;0;0＋11;＋0;2＋0;3＋41;1;1;
嗯～～啊，對了，消除差距的狀況在斐波那契數列的時候也有過，只要將差距的部分乘上就好，將兩邊乘……
（（＋＋（＋（＋
「原來如此，只要在即將出現的兩個項時插入括號的後半就可以了。」我了一下回答她想，我雖然放棄了，但是沒想到0;0;A＋A1;＋0;A＋0;A＋A1;1;1;可以更簡化。
7．5圖書室
分子是這樣變形的，是將0;n1;這個『尾巴』提出來。
×C0;1;<平方>＝Σ
>
不過等一下，＋1>的標記和
的指數差了1。
仔細觀察的話，即使『括號的後半』消掉了也可以復原。
我打開筆記本，米爾迦迅速地在上面寫。
>＝0;從S到G的方法數1;－0;從S到G’的方法數1;
也就是說……
C0;1;<平方>＝C0;1;<平方>＝Σ
－k>>
>
[插圖：畫一個4格×4格的表格，每格均爲正方形。左下角一點爲S，右上角一點爲G。在最左一列的每格左側寫一個（，在最上一列的每格上方寫一個＋。之後從左下角沿表格線描箭頭：上上右右上右上右，從S點一直描到G點。之後在S點右邊一個格的交叉點處畫◎，並在其右上方45度角的所有交叉點上畫◎]
C0;1;<平方>＝0;C<0>C<0>1;＋0;C<0>C<1>＋C<1>C<0>1;＋0;C<0>C<2>＋C<1>C<1>＋C<2>C<0>1;<平方>＋……
寧靜的空間中只剩下寫字的沙沙聲。
×C0;1;<平方>＝Σ
>－C<0>
將這個對應在你畫的圖上就知道了，這個圖表不能經過有◎的地方再到達終點。」
不考慮限制的話，從S到G的方法有0;1;<2n,n>。」
×C0;1;<平方>＝Σ
>
＊＊＊＊＊＊＊＊
0;n＋11;
＝0;n＋11;×0;n1;×0;n－11;……2×1
……完成了，這就是
的係數。
接下來就是計算了，快點快點，徹底使用遞降階乘吧。
「簡單來說括括號方法的總數就是『括號前半』與『加號』的排列組合，以n＝4來說，就是4個括號前半與4個加號的排列，假設以8個＊並排。
得出了C0;1;的二次方程式，令≠0然後求解捨得到下式。
不過我還不曉得爲什麼會有兩個一正一負生成函數，而且<根號1－4>的部分又是怎麼回事？似乎還有很深的謎。
能讓括號可以復原的，就是『加號連結兩個項』的限制。」
從生成函數的積做出漂亮的「積的和」，然後導出閉公式，沒想到生成函數的積會這麼有用。
這邊的通分，尤其是第二項會有點難懂，雖然只要明白遞降階乘的含義就會很清楚。不過還是補充一下。
這是可以復原的，只要在加號的左側填入數字，不過最後的4要寫在右側。」
然後分母是這樣變形的，這次是將0;n＋11;這個『頭』提出來。
出來了。
將n＝0的部分視爲n＋1＝1，這是爲了配合標記與指數。
「等一下」……我打斷了滔滔不絕的米爾迦。
G’是G鏡中的投影點，簡單來說，就是將（（＋＋＋＋（（變成（（＋＋＋（＋＋。
求出漂亮的「積的和」Σ
－k>>了，所以之後這個部分應該可以用遞推公式簡化，由遞推公式得……
接着用廣義化——我想起了蒂蒂那雙大眼睛——表現C0;1;<平方>的
係數
0;更好的對應？1;
「米爾迦，這裏有點奇怪。因爲這並不是在8個之中任意取4個，譬如說，就算將括號與加號各取4個也不能排成這樣啊。
（（＋＋（＋（＋
＝2n
/n
－2n
/n＋1
使用0;1;
=n
/k
>＝0;1;<2n,n>－0;1;<2n,n＋1>
＝0;0;n＋11;×2n
1;/0;0;n＋11;×n
1;－0;2n
×n1;/0;n＋11;n
通分
隔天放學後的圖書室裏，米爾迦坐在我的身旁。
到這裏爲止寫得相當冗長不容易懂，所以使用Σ，廣義來說，的係數就是
用C<0>＝1代入，將式子作整理。
然後再將剩下來的*自動變成加號。
Σ
－k>>
[插圖：畫一個4格×4格的表格，每格均爲正方形。左下角一點爲S，右上角一點爲G。在最左一列的每格左側寫一個（，在最上一列的每格上方寫一個＋。之後在S點右邊一個格的交叉點處畫◎，並向其右上方45度角引斜線，在斜線經過的的所有交叉點上畫◎。之後，在表格右側補一列格子，擦去最上面的一個，新補的格子中右上角的點爲G’點。之後從左下角沿表格線描箭頭：上上右右右上上右，從S點一直描到G’點。]
「我還沒說完啊。在排列括號與加號時，有着加號數量不能超過括號數量的限制。
「咦？不用遞推公式解嗎？」
嗯。
「那麼，接下來……」
「原來如此。」我說。
＝0;n＋11;×0;n1;
就是這樣，繼續計算>吧，通分後……
>＝0;0;0;n＋11;×2n
1;－0;2n
×n1;1;/0;0;n＋11;×n
1;
＝0;0;0;n＋11;－n1;×0;2n1;
1;/0;0;n＋11;×n
1;分子用0;2n1;
＝0;1/0;n＋11;1;×0;2n
1;/n
1;整理
＝0;1/0;n＋11;1;×0;1;<2n,n>代入n
/k
＝0;1;
得到有n個加號的式子的括括號方式的總數如下。
>＝0;1/0;n＋11;1;×0;1;<2n,n>
好，這樣就告一個段落了，來驗算看看吧。」
◎◎◎
我一邊爲米爾迦的簡單解法感到震驚，一邊計算。
C<1>＝0;1/0;1＋11;1;×0;1;<2,1>＝0;1/21;×0;2/11;＝1
C<2>＝0;1/0;2＋11;1;×0;1;<4,2>＝0;1/31;×0;0;4×31;/0;2×11;1;＝2
C<3>＝0;1/0;3＋11;1;×0;1;<6,3>＝0;1/41;×0;0;6×5×41;/0;3×2×11;1;＝5
C<4>＝0;1/0;4＋11;1;×0;1;<8,4>＝0;1/51;×0;0;8×7×6×51;/0;4×3×2×11;1;＝14
「好厲害……確實是1，2，5，14！」
米爾迦聽到了我的話後露出微笑。
※※解答7－1
>＝0;1/0;n＋11;1;×0;1;<2n,n>
「那這次換你了。」
「大概吧，雖然沒有深入去學生成函數，沒辦法清楚地說明，至少沒有必要再去管C<＋>0;1;了，發現式子只要將注意集中在C<－>0;1;就好，接下來你認爲呢？」
米爾迦似乎等不及地說出：
「……裏面有信。」米爾迦仍舊沒有停止計算。
「……學長，昨天真是謝謝你了。」
雖然是被米爾迦硬塞的作業，不過她優雅的解法還是很讓我震驚，即使想以生成函數解答，可是我只做出繁瑣的閉公式，也還沒找到正確答案，我是不是挑戰超過我能力的問題呢？我昨晚完成生成函數的積的感動已經煙消雲散了。
「先從±的部分思考看看。」
對着心情已經回覆的我，米爾迦微微一笑。
非常地不甘心。；
米爾迦沒有抬頭，她一邊寫着式子一邊回答。
2×C0;1;＝1－<根號1－4>
P.S.要再約我去『Beans』喔！
也就是K
的話也會自動得到>，而最後的關卡則是<根號1－4>的展開了。
K0;01;＝K<0>
C0;1;＝0;1±<根號1－4>1;/2
沒辦法的我只好在筆記本上寫下式子。
求出的生成函數C0;1;的閉公式如下所示。
蒂蒂「呼」地吐了一口氣後重新面向我。
2×C<－>0;1;＝1－<根號1－4>
「有想到什麼嗎？」我問，當然是關於的事。
「沒錯，然後呢？」米爾迦問。
將其整理之後得到
7．5．2面對生成函數
這時的米爾迦已經重新面對紙張，準備繼續計算。
上面有着蒂蒂留下的簡短訊息。
2×Σ
>＝1－Σ
>
「至少可以知道C<＋>0;1;是不合的……」
「C0;1;的閉公式能做的只有找到
的係數，簡單地說，就是展開冪級數。」米爾迦如此回答。
按下來的問題就是要怎麼處理<根號1－4>了。
Σ
>＝1－K<0>－Σ
>
……就會變成這樣，爲了不讓零變成除數，就將分母移過去。」
由於上式是對的恆等式，所以將兩邊的係數比較之後，就可以得到Kn與的關係式。
K<0>＝1
「<根號1－4>還真麻煩啊，話說回來要怎麼處理<根號1－4>呢？」我抱怨着。
「也就是說，當＝0的時候，含有的項會全部消失，變成C0;01;＝0，此時再回到你發現的閉公式吧。」
米爾迦不理會我煩躁的語氣繼續說下去。
「是問要怎麼設嗎？」我反問。
將左邊2移到裏面，右邊的k＝0移項到外面。
C0;1;＝0;1±<根號1－4>1;/2
蒂蒂邊說邊將視線轉向米爾迦，我也跟着看過去，米爾迦拿着自動鉛筆的手停了下來，抬起頭的她往紙袋瞥了一眼後看向蒂蒂，兩個女孩無言地對望。
的0;K<0>，K<1>，……，K
……1;，從哪裏開始好呢？」
「這裏的C0;01;會怎麼樣呢？」
C<－>0;1;＝0;1－<根號1－4>1;/2
所以將分母移項，變成下面的式子。
「咦？」
有點不甘心。
2C<1>＋K<2>＝0比較2的係數
米爾迦擺出有點困擾的表情催促我：「沒關係，你就說說看吧，做出遞推公式，然後呢？」
>＝-K
/20;n≥01;
Σ
>＋Σ
>＝1－K<0>
經過四秒。
「不行，因爲0是除數。所以C0;01;會變成無限大。」我回答，我已經冷靜下來了，因爲對米爾迦生氣又能怎麼樣？鬧脾氣又能怎麼樣？
※※生成函數C0;1;的閉公式
「當＝0的時候左邊都會是0，而1＋<根號1－4>會變成2，1－<根號1－4>纔會是0，所以這是怎麼回事呢？」
7．5．3圍巾
「回到定義吧，生成函數C0;1;是這個式子吧。」
「信。」
我輕輕地向蒂蒂招招手，她和平常不同，不是蹦蹦跳跳地而是慢慢地走向這裏，臉上還露出認真的神情。
※※生成函數C0;1;的閉公式
2×C<＋>0;1;＝1＋<根號1－4>
C0;1;＝0;1－<根號1－4>1;/2
我們回到問題上。
「那麼就來攻陷最後的關卡吧，現在令K0;1;＝<根號1－4>，然後目標是求……
「不，不對。」米爾迦緩緩地搖頭，「雖然有一邊是無限大，但另一邊是不固定的。C0;1;的±裏，正的設爲C<＋>0;1;，負的設爲C<－>0;1;……
C<＋>0;1;＝0;1＋<根號1－4>1;/2
Σ
＋K
1;
>＝1－K<0>
我說出了想嘗試生成函數的解法，從做出生成函數的積，到「漂亮的積的和」，再到二次方程式，最後到達了生成函數的閉公式，雖然抵達生成函數的國度，卻回不了數列的國度。
我沒有說話。
這時候我注意到蒂蒂站在圖書室的入口，她正看着坐在一起的我和米爾迦，兩手拿着紙袋擺在身體前方，她是從什麼時候開始以這樣姿勢站着的呢？
這樣就整理好∑了，由於是無窮級數，所以要改變和的順序必須清楚說明條件，不過現在爲了先找到式子就先省略。
2>＋K
＝0比較n的係數
C0;1;＝0;1－<根號1－4>1;/2
「什麼？」
「嗯？是什麼式子？」她看着我的臉。
K0;1;＝Σ
>
C0;1;＝0;1－<根號1－4>1;/2
「嗯，沒事，因爲學長借了我圍巾，又和我一起喝了熱飲。」
0＝1－K<0>比較<0次方>的係數
「似乎找不到下一步要怎麼做了，米爾迦，得到了C0;1;的閉公式之後……我們求斐波那契一般項那時候是怎麼做的？」
「今天就告辭了，之後也請繼續教我數學。」蒂蒂行個禮，緩緩走出圖書室，在入口的時候她又回過頭，再次行禮。
「試試看＝0吧。」我馬上回答：「這樣的話，Σ
>除了常數項以外都會消掉，也就是會變成這樣。」
＝Σ
>
「不是，是要你趕快用解析函數的基本技術。」米爾迦有點不悅地回答。
米爾迦看了一下算式之後閉上眼睛，似乎感覺到什麼而將臉朝向上方，她將右手食指向上指，然後轉圈，畫着零、畫着零，畫出了無窮大，然後睜開眼睛。
「就是處理<根號1－4>吧。」我說。
Σ
>＝1－K<0>－Σ
>
＝K<0>＋K<1>＋K<2><立方>＋……＋K
＋……
C0;1;＝C<0>＋C<1>＋C<2><平方>＋……＋>
＋……
「是什麼樣的式子？」米爾迦問。
7．5．4最後的關卡
將∑往左邊集中。
「也只能展開冪級數了，假設將係數的數列設做K
，就可以像這樣展開。」米爾迦寫出式子。
「從最容易的地方開始吧。」我說。
「啊，嗯，不客氣，沒感冒吧。」
「喔，那你知道要怎麼做嗎？」
我看了看袋子並伸手進去找，在圍巾下似乎有什麼東西，拿出來看才發現是張相當秀氣的米白色卡片，爲什麼米爾迦會注意到有卡片呢？
「嗯，有兩個難題，±的部分與<根號1－4>的部分。」
蒂蒂以平靜的語調說着並敬了個禮，然後將紙袋交給我，裏面有好的圍巾。
在這裏置入C0;1;＝Σ
>及<根號1－4>＝Σ
>，就會變成……
「我也知道，就是卡在這裏啊。」
7．5．5陷落
2C<0>＋K<1>＝0比較<1次方>的係數
謝謝你溫暖的圍巾。蒂德菈
沒有任何人說話。
將左邊調整成從k＝1開始。
「然後生成函數C0;1;是這個式子。
「微分。把K0;1;用微分的話，數列就會變換，常數項會變成K1。
K0;1;＝K0＋K1<1次方>＋K22＋K33＋……＋Knn＋……
↓↓ ↓ ↓
K’0;1;＝1K<1>＋2K<2><1次方>＋3K<3><平方>＋……＋nK
＋……
所以……
K’0;01;＝1K<1>
知道爲什麼要明白寫出1了吧？因爲微分會讓指數下降，這是爲了區別它的規律，到這裏就輕鬆了，將K’0;1;再微分會得到下列式子。
K’’0;1;＝2×1K<2>＋3×2K<3><1次方>＋……＋n×0;n－11;K
＋……
所以當＝0時，會出現下面的式子。
K’’0;01;＝2×1K<2>
之後就不斷地重複，將K0;1;微分n次以K<0;n1;,>0;1;表示的話，
K<0;n1;,>0;1;＝n0;n－11;0;n－21;……2×1K
＋0;n＋11;n0;n－11;0;n－21;……真是麻煩……
因爲太長了，就用遞降階乘書寫。
K<0;n1;,>0;1;＝n
K
＋0;n＋11;
K
＋1<1次方>
＋……
＋0;n＋k1;
K
＋……
所以令＝0會變成這個算式。
K<0;n1;,>0;01;＝n
K
＝-K
/2
8．1尋寶
米爾迦以畫圖的方式從我的周圍慢慢地走過。
好，這樣就告一段落了，得到的是相同的式子，也就是從生成函數的國度回來了。」
K
＝K<0;n1;,>0;01;/n
K0;1;＝0;1－41;<1/2次方>
分母可以從0;n＋11;
＝0;n＋11;×n×0;n－11;……1＝0;n＋11;×n
這樣變形。
「爲什麼這說呢？現在已經用冪級數捉住K0;1;了，接下來就用普通的函數型式捕捉吧。」
米爾迦率直地向我伸出左手，我伸出的右手像小鳥般輕輕地停在米爾迦純白的指間。
我們……
米爾迦像是跳舞般地走着。
能傾聽別人的話語。
H<∞>＝Σ
K<0;n1;,>0;1;＝－2×0;2n－21;
×0;1－41;<-0;2n－11;/2次方>
「回想K0;1;的定義……
「米爾迦總是與我保持在相同距離的地方，就像是在圓周上，這單位圓吧？」
米爾迦稍微眯起眼睛並站起身。
這樣就得到K
了，完全不是死路，你還記得K
和>的關係嗎？
0;什麼意思？1;
蒂蒂是比小我一屆、高中一年級的學妹，平常就像小狗一樣繞在我的身邊，是個有時候會在圖書室裏一起用功的好夥伴。她很愛說話，雖然不夠穩重，不過偶爾也會露出令人讚歎的認真神情，一頭短髮配上她那雙大大的眼睛，我覺得相當可愛。
巴哈認爲各聲部之間就像是一羣好友在對話。
也就是用K<0;n1;,>0;01;可以表示K
，簡單地說就是泰勒展開式。
我也站了起來。
再一步。
緩緩地將臉頰靠近……
之後就是用手計算了。
米爾迦張開眼。
……就算無法在她的『最近距離』，也希望至少能在她的『最近間隔』……
瑞谷管理員的聲音傳來。
從這兩個式子，可以得到下面的算式。
a
＝a<0>，a<1>，……，a
，……←→a0;1;＝Σ
>
以三個聲部爲例，其中一部突然沉默，
「即使半徑是零……」話說到一半，米爾迦就用力地將我拉向她。
K’’’’0;1;＝－2×6×5×4×0;1－41;<-7/2次方>
一邊注意規律，一邊反覆地微分。
「這是……什麼？」蒂蒂抬起頭。
「現在是閉校時間。」
K0;1;＝<根號1－4>
「我回來了……應該要說謝謝纔對。」我說。
放學後，我站在校門口，蒂蒂跑了過來。
K<0;n＋11;,>0;1;＝－2×0;2n1;
×0;1－41;<-0;2n＋11;/2次方>
K
＝K<0;n＋11;,>0;01;/0;n＋11;
然後，我……
我們牽着手往書架前的空地移動。
到這裏告一段落。」
真是完美的對應。
米爾迦喘了一口氣。
是爲了在輪到自己再度說話之前，
我和米爾迦所導出的一般項數列>＝1，1，2，5，14，……，被稱爲卡塔蘭數0;Catalannumber1;0;無名之聲：也稱卡特蘭數1;，而我思考出「漂亮的積的和」被稱爲折積0;volution1;0;無名之聲：也稱褶積1;。
我看着米爾迦，她這個人真是……雖然有點粗魯卻很善良，總是冷靜地表現熱情，我果然對米爾迦……
將＝0代入就形成最後的式子。
我到底在說什麼啊。
＝-K
/2
＝0;1/0;n＋11;1;×0;1;<2n,n>
K’’0;1;＝－2×2×0;1－41;<-3/2次方>
0;好溫暖1;
>＝0;1/0;n＋11;1;×0;1;<2n,n>
＝0;2n1;
/0;n＋11;
K
＝0;－2×0;2n1;
1;/0;n＋11;
米爾迦「嗯」了一聲停下腳步，「我們兩人的手長度加起來是1的話纔算是單位圓。」她緩緩回答，然後閉上眼睛。
只聽得見她輕微的腳步聲。
8．1．1蒂蒂
K<0;n＋11;,>0;01;＝－2×0;2n1;
再把剛纔用冪級數求得的式子，就是你說沒辦法繼續下去的那個式子拿出來，用n＋1思考。
數列←→生成函數
「嗯，不過到這裏就無法繼續下去了，已經沒路了。」我說。
「使用解析函數的基本技術，還是微分。」
就得到了>。
將數列與生成函數對應的話，就能把『將數列折積的數列』和『乘上原本的生成函數而得到的函數』互相對應。也就是將數列a
與b
的折積以a
*b
表示的話，會形成以下對應。
第8章調和數
＝0;1/0;n＋11;1;×0;0;2n1;
/0;n1;
1;
「？」她仍舊一副不解的表情。
說完話的米爾迦對我眨眨眼，這或許是她第一次有那純真的表現。
「學長～～」
即使半徑是零，圓就是圓，不過是已經變成點的圓。
7．5．6半徑爲零的圓
b
＝b<0>，b<1>，……，b
，……←→b0;1;＝Σ
>
我想起了曾經想過的事情。
「爲了紀念……跳隻舞吧。」
※※0;我的卡片1;
我什麼話也說不出來。
「嗯，研究課題，就是從這個式子出發，然後尋找『有趣的東西』的習題。」
K’0;1;＝2×0;1－41;<-1/2次方>
＝0;2n1;
/0;n＋11;
直到我們手長的和爲止。
如此說着的米爾迦將她的臉漸漸靠近，直到與我的眼鏡相碰的距雕。
K’’’0;1;＝－2×4×3×0;1－41;<-5/2次方>
「捕捉？」
放學後的圖書室除了我們沒有其它人。
★★「我」的筆記本
「即使半徑是零……還是會分開嗎？」
「原來在這裏啊，在圖書室沒看到你，還以爲發生了什麼事情，假如學長現在在要回去的話，請讓我一起……咦？這個是？」
「歡迎回來。」（無名之聲：接着是想問先喫飯？先洗澡？還是說……）
我將手裏拿着的卡片交給她，她將視線移到那張卡片上。
一步。
……也就是說，由於平方根是1/2次方，所以……
米爾迦演算到這裏，露出笑容對我說：
就這樣無言地……
K0;1;＝0;1－41;<1/2次方>
——福克爾『巴哈小傳』0;角倉一朗譯1;
夜裏，我在房間裏興奮地想着這個對應，『數列國度』的「折積」就是『生成函數國度』的「積」。
混雜着輕快的腳步。
「相當有趣，這是趟快樂的旅行。」她豎起食指。
我們的距離從零一口氣增加。
而米爾迦也沒有再說什麼。
「這個式子就像是藏着寶物的森林一樣，看你能不能在當中找出寶物，這張卡片是從村木老師那裏拿來的。」
「找出寶物是……」蒂蒂再度看了看我的卡片。
「嗯，從這張卡片出發，自己做出問題，然後再將問題解開。」
「原來如此……那學長你已經從這個算式裏找到寶物了嗎？」
「不，還沒。不過看到這張卡片就能知道一點，這個式子是H<∞>定義式，右邊的Σ
是……」
「啊！啊～～啊～～～！」
蒂蒂突然大叫讓我嚇了一跳，她紅着臉用兩手遮住嘴巴。
「……抱、抱歉，學長，請你什麼都不要說，可以讓我也一起，『尋寶』嗎？」
「什麼意思？」
「這個研究課題也可以讓我想想看嗎？因爲我到現在爲止都沒有試過，想要試一次看看，我想努力將『寶物』挖掘出來。」
說話的蒂蒂擺出拿着鐵鍬挖洞的樣子。
「當然可以，假如找到什麼有趣的東西，就寫個報告給村木老師吧。」
「咦？不用到這種程度吧。」
她連忙搖頭，蒂蒂還是一樣有朝氣。
「那張卡片先給你，明天會在圖書室討論，所以你就想想看吧。」
「好！我會加油的。」
蒂蒂雙眼發亮並將雙拳緊握。
「學長……學長對我……」
蒂蒂的聲音突然停止了，她注視着我的背後，接着小聲地「唉呀」一聲。
我回過頭看到米爾迦站在那裏。
「是的，寫作Σ
的時候，就要理解成『k從1累進到∞，將所有1/k累加』，不過若是說成∞好像是某個地方的一個數，然後k會慢慢地前進過去，這種說法是不正確的，無窮級數Σ
是以部分和Σ
的極限定義出來的。」
對所有的正整數n，H
－H
＝1/0;n＋11;。
「喔，又談到無限的話題了，在開始計算無窮級數前必須先習慣無限個項的和纔行。爲了要習慣Σ。就先將n爲1，2，3，4，5的式子具體地列出來。」
Σ
0;使用k的式子1;
「久等了。」米爾迦向我微笑。
8．2對話存在於所有的圖書室
「那個lim是……」
「嗯……」
「沒錯，0;11;的0;1/11;＋0;1/21;＋0;1/31;……＋0;1/n1;的『……』並不是表示無窮級數，只是因爲寫不下所以不寫，在這裏的項是有限的，而值是固定的並不恐怖，但是0;21;的0;1/11;＋0;1/21;＋0;1/31;……的『……』表現的就是無窮級數，這裏面藏着lim，如同在說『或許值會不固定』，有限的『……』和無窮級數的『……』意思完全不一樣，所以需要特別注意。」
「是正確的。因爲H<1>＝1，這是當然的……啊，原來如此，『從理所當然的地方開始』，對吧？」
Σ
＝0;1/11;＋0;1/21;＋0;1/31;＋0;1/41;
「會成立，因爲H
是以分數的和來定義的，所以用減法會出現分數也是當然的。」
這是Hn的定義式，再來把Σ具體地寫出來。
「學長……我的數學果然不行。」
蒂蒂在被拍的時候微微縮着頭，並眨了眨大大的眼睛，她只能看着米爾迦瀟灑地離去。
H
＝Σ
0;H
的定義式1;
「再來是標記上要注意的地方。下面兩個式子都會用到這個刪節號『……』，標記無窮級數用是0;11;還是0;21;呢？」
「呃……無限大的數是……」
「表示無窮級數的……應該是0;21;吧。」
＝0;1/11;＋0;1/21;＋…＋0;1/n1;＋0;1/0;n＋11;1;－0;1/11;＋0;1/21;＋…＋0;1/n1;
「什麼？」蒂蒂歪着頭，眼睛骨碌碌地轉着。
8．1．2米爾迦
0;1/11;＋0;1/21;＋0;1/31;……0;21;
Σ
＝0;1/11;＋0;1/21;
對所有的正整數n，H
＞0。
「啊，是這樣嗎？」
「啊，原來如此，話說回來……寫爲H
，雖然n留下來了，但是k爲什麼卻消失了？」
「爲什麼用H呢？」
「像這樣判斷是否會成立的數學主張稱爲命題，命題可以用國語或英語，甚至是算式來寫……那，下面的命題會成立嗎？」
8．2．1部分和與無窮級數
「啊，我知道了。『變大』這個動作和使用不等號的『大於』在敘述的表現上是不同的吧，就像英語的一般動詞和be動詞一樣？」
「沒事……繼續往前進吧，下一個命題會成立嗎？」
「因爲Σ
中的k是隻在Σ中使用的變量，不會用在其它的地方，像k這種變量稱爲約束變數，意思就是在Σ中被約束的變量，也不一定非使用k不可，可以填入自己喜歡的文字，像i，j，k，l，m，n這些都常常使用。啊，不過由於i是表示<根號>的虛數單位，所以會造成混亂的時候就不要用，另外平常會用n當約束變量，但是這裏不行，因爲n已經有其它的意思了，把Σ
寫成Σ
的話，意思就會變得很奇怪。」
Σ
＝0;1/11;＋0;1/21;＋0;1/31;……
……好痛。
好，完成了。然後……嗯……把項的順序改變。
「會成立。」
遠去的米爾迦沒有回頭，只有像要回答目送她離去的蒂蒂一樣舉起了右手揮了揮，最後……她消失在轉角。
「嗯，∞和n是不一樣的……不過，因爲n是變量，所以和∞不是一樣的嗎？」
「是這麼說沒錯……」她不滿地嘟起嘴。
「不，你有抓到這個式子表達的意思了，這個式子沒錯。」
「沒關係，我們就慢慢前進吧。」
n＝1的話，H
＝1。
8．2．2從理所當然的地方開始
我在校門前被兩個女孩夾在中間。
「學長……怎麼了嗎？」
米爾迦是跟我同班、高中二年級的學生，也是個與長髮和眼鏡相當相配的美麗女孩，而且數學很好，雖然她常常隨便寫我的筆記本、突然開始教我數學、做出一些不管別人想法的事情……
對所有的正整數n，H
－H
＝1/n。0;？1;
對所有的正整數n，H
＜H
。
「好的……我已經知道要注意無限了，也知道了發散……所以跟無限有關的話，就算解出算式也不一定是固定的值啊……」
「學長，雖然我很想找到有趣的東西……可是我完全不知道之後要做什麼纔好。」
「不、不好意思請稍等一下，『由n決定』這邊我不太懂。」
「∞（無窮大）並不是『數』，至少通常不被當成數處理，例如實數就不包含∞。」
「嗯，太難了啊……算了，就是很難用一般的用語表現，所以才用算式寫出來，首先對『到達的目標地點是被定義出來的』這件事情有個印象就好，既然是被定義出來的，就不一定能靠直覺理解。不必馬上就去求無窮級數的值，從部分和開始思考n→∞的極限纔是正確的方法。」
「如何？」我問。
「看起來一樣的『……』，有着不一樣的意思呢。」
「這個是無窮級數，也可以說只是級數。」
「limit就是極限，由於數學上的定義很長，在這裏我只簡單地說明，假定有數列a<0>，a<1>，a<2>，……a
就是表示n在非常大的時候，『a
的值會變得如何』的式子。在n非常大的時候，a
可能會『無止境變大』，也許會『有時變大有時變小』，甚至可能『接近一定的值』，而這個式子在接近一定的值時a
會被定義，總而言之，就是表示a
的『目標地點』，而會到達某個目標地點的極限則稱此極限收斂。」
「先看問題的式子Σ
，這個式子難懂的部分是∞（無窮大）的地方吧。」
「嗯，像這樣會將自己不懂的地方提出來正是蒂蒂的優點，不管是5或是1000，只要n的值是具體固定的，Σ
這個式子的值就是固定的，這就是『由n決定』的意思，所以可以寫出以n爲標記的H
。這樣的話，H<5>就和H<1000>一樣，只是命名上的問題。」
「那現在開始計算部分和吧，首先要注意Σ
的值是『由n決定』的。所以即使寫做H
也是可以的，這是H
的定義式。」
「咦～～啊？原來如此，學長，出陷阱題太過分了。」蒂蒂開始對我抱怨。
「像這種無限的連續式子雖然好像可以感覺到什麼，但是要實際出來卻很困難。蒂蒂的挑戰精神很值得讚賞，從現在開始我們就一起尋寶。」
「咦？啊，不好意思。耽誤你寶貴的時間。」
我靜靜地等待蒂蒂的思考。
蒂蒂突然慌張了起來，「學長是在等人啊……我、我好像打擾了。那個……我先告辭了。」她點了一下頭，跟着退後半步。
「沒關係，蒂德菈，我一個人回去就好了。」
「不、不好意思。對於無窮級數以及部分和的差別，我還是不太清楚……」
「確實，這個……命題會成立，不過……比起『當n變大時，H
必然變大』，『H
＜H
』會比較嚴密啊……嗯……」
「不，你說了以後我纔想到也有這種看法，不過我只是要表達『比起一般生活用語，用算式表達會比較嚴密』而已，話說回來，蒂蒂你到底是……？」
「嗯……好難，不過到n在非～～常大的時候，會怎麼樣的部分我還聽得懂……」
這樣就可以了吧，學長？
米爾迦伸出右手溫柔地拍拍蒂蒂的頭，接着從我和蒂蒂之間走過。
「抱歉抱歉，不過還是要好好地確認過纔行。」
「那來列舉與H
＝Σ
有關的部分，因爲『舉例是理解的試金石』，下面的敘述正確嗎？」
「如何，瞭解差別了嗎？」
「咦……？」
「因爲卡片上寫作H<∞>，所以部分和就用H
。」
0;1/11;＋0;1/21;＋0;1/31;…………＋0;1/n1;0;11;
H
－H
＝Σ
－Σ
我們相視而笑。
＝0;0;1/11;－0;1/11;1;＋0;0;1/21;－0;1/21;1;＋…＋0;0;1/n1;－0;1/n1;1;＋0;1/0;n＋11;1;
隔天，放學後的圖書室人並不多。
Σ
＝lim
>
「這個……是的，沒錯，n變大就代表會有更多的數相加。」
「不，沒關係。不知道的地方還是問清楚比較容易進行下去。」
蒂蒂露出好像要哭出來一樣的表情打開筆記本，上面只寫上一行算式。
米爾迦慢慢地看向蒂蒂，再看向我，又看看蒂蒂，然後她眯起眼睛微笑，並用和緩的語氣說：
Σ
＝0;1/11;＋0;1/21;＋0;1/31;＋0;1/41;＋0;1/51;
「是的，正數相加就會變大，『當n變大時，H
必然變大』這個命題，也可以用算式寫成下面的式子，這種方式會比較嚴密。」
「好的，我知道了。不好意思打斷學長的說明。」
「那麼H
－H
到底會變成怎麼樣呢？能使用H
的定義式計算嗎？你動筆試試看。」
lim
>0;使用n的式子1;
「好的，嗯……」
Σ
＝1/1
在她做這一連串動作的時候，我忍耐着不發出聲音，因爲米爾迦走過的時候踩了我的腳。
「這是部分和。」
「沒錯，你記住了，那下面的敘述成立嗎？」
而且是非常用力地。
「很可惜答錯了，H
－H
＝1/n不會成立，右邊的分母是錯的，要像下面的式子，分母不是n而是n＋1纔會成立。」
蒂蒂的話帶給我一些衝擊，『變大』和『大』的差別？一般動詞和be動詞？……原來如此，或許是這樣吧，之前村木老師好像有稍微提過，追尋數列變化形態的觀點與捕捉數列各項關係式的觀點……是『過程的定義與敘述的定義』的話題……
Σ
＝0;1/11;＋0;1/21;＋0;1/31;
「不對，完全不一樣，確實n代表變量，不過是表示有限的數，而∞不是數，所以不能用n代入，就是因爲n是有限的數，所以Σ
上纔會是有限個項相加，也就是一定能得到計算結果，但是像這樣Σ
無限個項相加，就不一定會得到計算結果。如果是剛剛有稍微提過的『無止境地變大』或『有時變大有時變小』的狀況，目標地點就會不固定，而不固定的值就不能以數看待，另外，若目標地點不固定，則稱這個極限發散。當討論無限個項時，這是一個要非常注意的地方。」
對所有的正整數n，當n變大時，H
必然變大。
8．2．3命題
＝1/0;n＋11;
「好，做得很好，那這次由蒂蒂命題看看。」
「嗯……那因爲出現了H
－H
……所以這個命題可以嗎？」
對所有的正整數n，當n增大時，H
－H
會變小。
「沒錯沒錯，很好，算式的話要怎麼寫呢？」
「這樣嗎？」
對所有的正整數n，H
－H
＞H
－H
。
「就是這樣，非常好！」
「加上去的數，像1/2，1/3，1/4，……這種『變小』的感覺就用『小』的算式表現。」
8．2．4全部的……
「蒂蒂，像這樣把一切都用算式表示是很重要的，就算是一些理所當然的事也不要緊，儘量寫寫看，這是一個練習使用數學語言的方法。」
「好，我想起學長之前曾經對我說過『玩數學就像在捏黏土』，我捏我捏……」蒂蒂一邊說一邊做出捏黏土的動作。「啊，不過『對所有的正整數n』……這個不算是式子吧。」
「嗯，要說明正整數N的集合，就用這個算式。」
n∈NH
－H
＞H
－H
「這個算式要怎麼唸啊？」
「
n∈N……就唸成『ForallninN……』，用說的就是『對所有正整數n』……或是『對任意整數n』吧，
是All的A倒過來寫。
「這個好像跟一般的N不太一樣？」
「是的，寫N的話會被當成是一般的數。但是寫成N就能很清楚地知道『這不是數，而是集合』。」
「那這個∈呢？」
「這是用來表現元素∈集合的形式，是要表示『集合中的元素』的意思，寫成
n∈N的話，就是代表『在這個集合中，無論選出哪一個元素n……』的意思。」
0;1/11;＋0;1/21;＋0;1/31;＋0;1/41;＋0;1/51;＋……
ζ0;11;
ForallMinR,thereeistsninNsuchthatM＜Σ
0;a1;
「蒂蒂的發音很漂亮，可以用『s』，或者用『thereeistsn』也沒關係，再用suchthat補充的話就更容易明白了。」
「數學作文……數學確實也有這樣的一面，大部分的算式都會經過壓縮後再以簡潔的方式表現，所以想要搞清楚這個算式到底在寫什麼的時候，還是慢慢來比較好。」
H<6>－H<5>＝1/6
※※問題8－1
H<2>＝0;1/11;＋0;1/21;
ヨn∈N[
M∈R3;M＜Σ
5;]0;b1;
隔天，午休的音樂教室中。
「是的，意思對了。0;a1;這邊是一開始選出M，然後用M去找n，認爲可以在對全部的M中找到n，依照選擇的M，n不同也沒關係，但是0;b1;這邊是先找到n，無論這個n是什麼數，都會對全部的實數M成立這個不等式，在0;b1;的情形下，選擇M的時候n不會變。這次的問題8－1說的是0;a1;，這沒問題吧？」
「你看過村木老師的這張卡片了嗎？」說完話的她把卡片放下。
「喂。」米爾迦叫我。
對所有的正整數n，H
－H
＞H
－H
。
「按照順序從上往下看的時候，要注意增加的部分，也就是Hn＋1－Hn唷。」
「的確要用語言區分很困難。話說回來，這個不等式的出現的M是什麼啊？」
M∈Rヨn∈NM＜Σ
0;a1;
「咦？」
M∈R3;ヨn∈N[M＜Σ
]5;0;a1;
面無表情的米爾迦盯着我。
看來她的心情非常好。
「意思就是不管選出哪個都可以吧……學長，這樣學數學就像在寫作文一樣，不過不是英文作文而是數學作文。」蒂蒂笑着說。
「稍微有點長，所以爲了讓意思清楚一點，就加上括號吧。」我加上括號並對蒂蒂說明。
蒂蒂將英文唸了幾次，陷入沉思。
兩位美少女正在平臺鋼琴前連手彈奏。
「也就是下面的式子會不斷地變大，最後出現瓶頸吧？」蒂蒂將自己的頭託在手上說。
「嗯？累了嗎？」
「大概就是這種感覺吧，比起表現『會一直變大』，用任意實數M來表現『比M還大』會更清楚，無論M設多大，只要有像問題8－1那樣對M存在的n，就可以說會一直變大下去，若是對其中任何一個M都不存相對的n，就不能說會一直變大下去。」
米爾迦與英英彈着以上升音階爲基調的變奏曲，兩個人配合呼吸、彈着相似的旋律，在不斷反覆的同時，音階也逐漸上升，咦？彷彿快要超越鋼琴的音域了……不，這不可能，拉回注意力的時候，不知何時音階又降下來了，到底是什麼時候降的？這真是非常不可思議的感覺……就像是爬上永無止境的樓梯一樣，這種令人焦急的感覺有如擁有能一口氣衝上天的巨大翅膀，卻在螺旋階梯上一步一步地往上爬，無限上升的無限音階、永遠持續變奏的音樂，她們竟然能用鋼琴彈出這種曲子，着實讓我驚訝。
8．2．5……是存在的
「沒錯，讓不同音程的八度音同時平行上升，然後音越高音量就越小，在高音消逝的同時以小音量混入低音，在中音域表現最大的音，這樣就能瞞過人的耳朵產生無限上升的感覺，一個人彈的話會有表演的極限，所以要兩個人。」
8．4不愉快的ζ
「不會不會一有一點點累而已。不過多虧學長的說明，讓我的『數學作文的語彙』增加不少。」
「啊，請等一下，這個『增加得越來越少』的部分，我想可以用我剛剛寫的算式表現，嗯……就像這樣。」
H<5>－H<4>＝1/5
糟了，我完全沒在聽她說話，這真是太糟糕了。
其中一位是才女米爾迦，另外一位是喜歡鋼琴琴鍵的少女英英，她是鋼琴社團『極強音』的社長，也是高中二年級的學生，雖然和我跟米爾迦是同學年，不過不同班。
H<2>－H<1>＝1/2
對任意的實數M，有一個正整數n存在，使M＜Σ
成立。（JoyJ：我們一般說“存在n”就夠了==）
「要我研究ζ0;11;，不過ζ0;11;是向正無限大發散的這件事已經很有名了，證明很快就可以完成。不過正因爲這樣，我纔想要用不同方式試試看，我的想法是先……」
「沒錯，就是這樣，雖然增加得越來越少這種說法很曖昧，但算式寫出來就很清楚了，也會變得比較容易理解，雖然有很多人覺得算式既複雜又難以理解，不過很多狀況不寫算式反而會更加難懂。算式是一種語言，只要使用得當，就能幫助自己理解，或是成爲傳達訊息的有用工具。」
蒂蒂似乎很高興。
8．3附有無止境上升螺旋階梯的音樂教室
「用英語寫的話……」我繼續寫上英文。
「那算式就像濃縮果汁一樣囉？一口氣喝下去的話會有危險嗎？」
「那是什麼曲子啊！……算了，下次再一起彈吧。」英英一邊苦笑，一邊走向自己的教室。
「……好了，我們將算式具體地寫出來。」我說。
在午休的後半段，米爾迦啃着當成午餐的巧克力在我前面坐下。
「真不可思議，明明只是有限的琴鍵，卻好像有無限的曲調。」我說出感想。
「下面的0;a1;和0;b1;兩個式子，你能知道它們哪裏不一樣嗎？」我在筆記本上寫上兩行算式。
「好的，我看看。將目前的命題用算式寫出來的話……這樣寫可以嗎？」
「你覺得是什麼呢，蒂蒂？」。
「到目前爲止定義了H
＝Σ
，n變大的話，H
也會隨着變大，不過增加量會越來越少，如此一來，在n變大時，H
也會不斷地變大嗎？還是說，即使n不斷地增大，H
也不會大到超過某個數呢？」我提出質疑。
「ヨ？」
「是的。」
0;[]內爲M的約束範圍,3;5;內爲N的約束範圍1;
「『存在』嗎？也就是說『ForallMisinN……』。」
令實數集合爲R，正整數集合爲N，則下列式子是否成立。
「那麼，差不多要看見最初的寶物囉。」
「嗯，很、很大的數？」
「要用語言來表現0;a1;與0;b1;的差異是非常困難的，但是仔細地看的話，用算式就可以很清楚地表現。」
0;咦？和我的不一樣。1;
n∈NH
－H
＞H
－H
「嗯，不錯，就是這樣。」我說。
「似乎有用不同的八度音吧。」
H<1>＝1/1
H<4>＝0;1/11;＋0;1/21;＋0;1/31;＋0;1/41;
「ヨ不是日文片假名的yo，而是將Eists的E反過來寫的記號。」
「就像向正無限大發散一樣有趣，明明有限卻發散這點很矛盾。」米爾迦露出開玩笑似的微笑。
米爾迦則是繞起食指哼歌，和我一起往教室走去。
M∈Rヨn∈NM＜Σ
米爾迦無言地起身，看都不看我一眼就走回自己的座位。
H<5>＝0;1/11;＋0;1/21;＋0;1/31;＋0;1/41;＋0;1/51;
米爾迦不等我的回答就繼續說下去。
0;無名之聲：我相信對高中生來說，有趣的不會是ε－Ｎ語言，有趣的只是曖昧的對象而已。1;
「硬要說的話就會像這句話。」
「不能把祕密說出來啊！」英英靠了過來並說：「要做出這曲子真的很難，因爲只有單純的音階就不有趣了，所以要用快節奏讓聽衆不會聽膩，還要不能太過單調，得讓人有不可思議的感覺，幸好米爾迦的手指很靈敏，真是幫了我大忙。」
「原來如此……雖然好像繞了好大一圈，不過我終於將意思弄明白了……呼。」（JoyJ：爲什麼我反倒越來越暈了==）
ヨn∈N
M∈RM＜Σ
0;b1;
一開始我是以教導學妹的態度與蒂蒂對話的，不過最近有點在與她解答問題的同時，會有種需要重新整理思考的感覺。我說明，而蒂蒂接受，這樣的行爲不斷地累積，就像一階一階地爬上樓梯，接着換蒂蒂說明，我接受，哈哈……就像遞推公式一樣慢慢地、慢慢地產生變化，然後一個一個確認……而且，我被蒂蒂那雙大眼睛一直凝視着的時候，就會……
「沒錯，數學很有趣吧？用算式這個新語言，就不會讓思緒變得曖昧喔……」
上課的鈴聲響了。
「像這樣H
－H
的值就會漸漸變小，就跟剛纔蒂蒂你說的一樣。」
「沒錯，這就是從那張卡片上自然而然會發展出來的問題，要調查這個題目是發散還是收斂，用算式寫寫看。」
曲子在最後慢慢地轉向漸弱，然後淡出，在殘響消逝的那一刻，在場的人爆出叫好聲與拍手聲，米爾迦與英英站起來行了個禮。
「好！學長……我……非常高興喔！」
「H<1>，H<2>，H<3>，H<4>，H<5>，……雖然本身越變越大，但是『變大的量』，也就是『增加量』卻逐漸減少。每個數字之間增加也越來越少，這樣的話……」
H<3>＝0;1/11;＋0;1/21;＋0;1/31;
「……勉強沒有。」蒂蒂說。
「有趣嗎？」米爾迦問我。
「真是辛苦你了，蒂蒂，今天就到這裏爲止吧，差不多管理員瑞谷老師也要出現了，就等明天放學後再打開這個寶箱吧。」
我呆然地聽着米爾迦飛快的說明，腦中想着「原來老師這次給我和她的是不同的卡片啊」，印象中有聽過ζ函數，應該是目前最尖端的數學領域，原來如此，這是配合才女米爾迦實力的困難問題。
「學長，用講的要怎麼說呢？」
……話說回來，不曉得蒂蒂解出昨天的問題了嗎？蒂蒂，那跳跳的女孩到底該怎麼形容她呢，雖然覺得她並不是很擅長數學，不過她的行動與敘述……具有相當敏銳的洞察力，不過本人似乎沒有意識到這一點。
ThereeistsninN,suchthatforallMinRM＜Σ
0;b1;
H<3>－H<2>＝1/3
ForallMinR,thereeistsninNsuchthatM＜Σ
。
經過的學生們都被鋼琴聲吸引而停下腳步觀看。
H<4>－H<3>＝1/4
※※0;米爾迦的卡片1;
「對了，我希望下次是梅比烏斯環形狀的協調曲。」米爾迦笑着建議。
「……我覺得我應該懂，順序很重要吧？0;a1;這邊是先決定M然後找n，在找n的時候M不會變，但是0;b1;這邊是先決定n，然後對n尋找所有M……這樣嗎？」
「雖然很囉嗦……不過勉強能懂。」蒂蒂回答。
從我的位置可以看見米爾迦快速移動的手指0;就是那溫暖的手指1;，嗯，確實能看見手又回到左邊的低音部，不過我的耳裏卻只見不斷上升的音樂。
「我是說，能和學長一起……呃，嗯，是的，沒錯，明天也要拜託學長了！」
看來她的心情非常糟。
8．5無限大的過分評價
由於今天是圖書室整理內部的日子，所以不能使用圖書室，我和蒂蒂就在別館的大廳『學倉』角落找了個位置進行計算。
「不好意思。」
蒂蒂慎重地行禮後在我的身旁坐下，她稍微遲到了一下子，從她的身上飄來特有的香味，而耳邊傳來的是練習中的長笛二重奏。
我靜靜地開始寫下昨天問題解答的算式。
※※問題8－1
令實數集合爲R，正整數集合爲N，則下列式子是否成立。
M∈Rヨn∈NM＜Σ
蒂蒂在旁邊看着。
H<8>＝Σ
＝0;1/11;＋0;1/21;＋0;1/31;＋0;1/41;＋0;1/51;＋0;1/61;＋0;1/71;＋0;1/81;
＝0;1/11;＋0;0;1/21;1;＋0;0;1/31;＋0;1/41;1;＋0;0;1/51;＋0;1/61;＋0;1/71;＋0;1/81;1;——分爲1個，2個，4個一組
≥0;1/11;＋0;0;1/21;1;＋0;0;1/41;＋0;1/41;1;＋0;0;1/81;＋0;1/81;＋0;1/81;＋0;1/81;1;
＝0;1/11;＋0;0;1/21;×11;＋0;0;1/41;×21;＋0;0;1/81;×41;
＝0;1/11;＋0;1/21;＋0;1/21;＋0;1/21;
＝1＋3/2
「在這裏稍微休息，雖然中間變成了不等式，你應該能理解吧？爲了方便廣義化，這裏就不計算到最後，而只到1＋3/2爲止。雖然現在只看H<8>，不過H<1>，H<2>，H<4>，H<8>，H<16>，……都是用一樣的方法，最後會變成這樣。」
H<1>≥1＋0/2
H<2>≥1＋1/2
※※問題8－2
※※黎曼函數、調和極數、調和數
「咦？……啊，真的，最後的計算結果應該是1，結論是下面會成立。」
「咦？」
H<8>≥1＋3/2
※※解答8－1
M∈Rヨn∈NM＜Σ
>
「不過這是不等式吧，不是等式的話，不就不能求H<2
>的值嗎？」
之後就是計算。
「ζ0;s1;被以無窮級數的型式定義，這裏的s＝1就是調和級數，用的是HarmonicSeries第一個字母H，寫做H<∞>。」
令實數集合爲R，正整數集合爲N，且
k∈Na
＞0，下式並非必然成立。
我在呆然的狀態下向她說明我寫給蒂蒂的式子，是以m爲0以上的整數，利用H<2
>≥1＋m/2成立的證明。
「那麼這個問題如何？在離散的世界中試着找出『指數函數的反函數』……也就是對數函數。」
「學長，真不可思議，用1＋m/2這個會變大的數，就可以將H<2
>推上去，而爲了要推擠則用上了不等式，到這裏還好……明明越變越小的數1/k，相加成Σ
竟然可以一直變大下去，真的很不可思議。」蒂蒂不斷地點頭。
「好的，我懂了，無論對多大的M，只要m夠大的話就能像……
「當然也會有算錯的時候，雖然對剛纔的證明沒什麼影響……」
這樣就能用等比數列的求和公式了。
蒂蒂一直盯着我的筆記本，認真地思考。
＜1/0;1－1/21;－1
※※問題8－3
ζ0;11;＝∞
H<4>≥1＋2/2
除去分子－1/2
的這一項，就可以做出不等式。
「也就是說無論＝中的n有多大，結果都不會在1以上。無論加了多少，由於去會極度地接近0，所以和沒辦法累加到1以上，雖然當M＜1時n會存在，但M≥1的話n就不存在了，所以用ak＝爲反例，問題8－2的答案會是這樣。」
「也就是說，黎曼函數中s＝1的式子就等於調和級數？」
「咦？你剛剛說了奇怪的話喔，那這個問題如何？」
在放學後的教室，我叫住不發一語、準備回去的米爾迦。
經過瞬間的沉默，我們看着彼此笑了出來。
村木老師出給我和米爾迦的是相同的問題嗎？原來H是Harmonic的第一個字母。
表現出來，a
＝1/k的狀況就是問題8－1，因爲現在定義了『向正無限大發散』，所以可以得到下面的結論。」
「因爲調和數H
是n→∞，所以向正無限大發散。」
「爲什麼能說『調和級數是向正無限大發散』……」
「米爾迦，之前發呆沒好好聽你說話是我不對。那個……關於昨天的事，我對ζ函數其實不太清楚，就是關於ζ0;11;是向正無限大發散的話題……」
「這樣就找到一樣寶物了，Σ
會一直變大下去。」
「沒錯，所以昨天的問題8－1的解答就是……」
對應連續世界的對數函數㏒<以e爲底，>，定義離散世界的函數L0;1;
「是這樣啊……那我和蒂……我想到的無窮級數與ζ0;11;就是一樣的。」
M＜1＋m/2
＝1/2<1次方>＋1/2<平方>＋……＋1/2
＝H
＝Σ
0;調和數的定義式1;
「嗯，那就試試看將『一直變大下去』這種說法用算式表現，在這裏爲了簡化，就限定數列裏全部的項比0大。」我邊說邊在筆記本上書寫。
Σ
>＝∞
米爾迦繼續寫下去。
「那個……不好意思……最後的計算1/0;1－1/21;－1的結果不是2吧？」
H<16>≥1＋4/2
H<∞>＝∞
「要將這式子廣義化不難，令m爲0以上的正數，則下式成立。」
到這裏米爾迦終於向我笑了一下，她已經回覆到平常的模式了。
「也就是當n→∞，調和數H
→調和級數H<∞>。」
＝0;1/2<0次方>＋1/2<1次方>＋1/2<平方>＋……＋1/2
1;－1/2<0次方>
「對部分和Σ
>有一任意項都比0大的數列a
＞00;k＝1，2，3，……1;使得……
就在這一瞬間，蒂蒂學着我的口吻說：
「無論是什麼正數，只要一直加上去，就會不斷地變大下去啊……果然這就是無限……」
「咦？有不管正數再怎麼加，也不會比M還大的狀況嗎？」
M∈Rヨn∈NM＜Σ
＝20;？1;
a
＝1/2
「我覺得問題8－2會成立。因爲……將a
這個正數一直不斷地累加下去的話……也就是n變大……和也會跟着變大。所以，總會加到Σ
>比M大的時候。」
『無窮級數Σ
是向正無限大發散。』
「不過還是要好好地確認過……對吧，學長？」
「原來如此，當n變大的時候，會有部分和不斷增大與並非如此的兩種狀況……不過，學長也會計算錯誤啊。」
ζ0;s1;＝Σ
>0;黎曼函數的定義式1;
M∈Rヨn∈NM＜Σ
>
成立時，因爲n→∞，所以稱Σ
>爲向正無限大發散，這是定義，然後以……
H<∞>＝lim
>0;調和級數與調和數的關係1;
H<2
>≥1＋m/2
「……啊，我知道我知道！會一直變大！m變大的話，1＋m/2就會一直變大下去。所以……嗯！用不等號來想的話，只要m變大，H<2
>要大到什麼程度都沒問題！」
當然。舉例來說，假如數列a
的一般項是以下的式子的話會如何？」
教室裏迴盪着米爾迦用粉筆寫黑板的聲音。
「也就是說ζ0;11;是向正無限大發散。」
「嗯，雖然我瞭解你的想法，不過蒂蒂，雖然這麼說有點奇怪，可是你對無限大有過大的評價喔。」
㏒<以e爲底，>←→L0;1;＝？
「先冷靜下來從頭開始好好地看，定義M的時候，是爲了讓某一個n使得M＜Σ
成立。」
＝H<∞>＝Σ
0;調和級數的定義式1;
ζ0;s1;＝Σ
>0;黎曼函數的定義式1;
這裏就按照an的定義，將Σ具體地寫出來。
lim
>＝∞
8．6於教室演練調和數
＝0;1－1/2
1;/0;1－1/21;－1
「嗯，還記得。」印象中是做出差分方程式解開問題的。
不過最後米爾迦終於拿起粉筆，開始在黑板上寫下：
連續世界←→離散世界
令實數集合爲R，正整數集合爲N，則下式成立。
令實數集合爲R，正整數集合爲N，且
k∈Na
＞0，下式是否必然成立？
「下面的部分和Hn稱爲調和數。」
看來是很難對話了。
「原來是這樣，不等式真方便，雖然不能求出正確的值，卻可以從小的地方向上推……」蒂蒂一邊說一邊做出排球託球的姿勢。
「現在的目的並不是要求H<2
>的正確值，而是要看出H<2
>到底能大到什麼程度。你想想看，依照上面的式子，m值很大的話會發生什麼事情？」
M∈Rヨn∈NM＜Σ
>
H
＝Σ
0;調和數的定義式1;
「嗯……」
米爾迦這時閉上眼睛，彷彿指揮般用手指劃了一個L型，然後張開眼說：
Σ
>＝Σ
>
「你還記得在離散的世界找出指數函數的事嗎？」
Σ
>＜1
一樣找到m，這裏只要將m設爲2M以上的整數，找到m之後，就令n＝2
，也就是用m做出n，而這個n就是我們要求的n吧？」
「在這個狀況裏，對全部的正整數k，a
＞0會成立，但是Σ
>卻不會無止盡地變大，因爲……」
H<∞>＝Σ
0;調和級數的定義式1;
M＜1＋m/2≤H<2
>＝H
＝Σ
「沒錯，你的證明和14世紀奧雷姆用的是相同的方法。」米爾迦說到。
「因此調和級數也是向正無限大發散。」
※※解答8－2
接下來爲了方便計算，加入1/2<0次方>之後再減掉。
無視我說的話，米爾迦繼續說下去。
「這是黎曼函數ζ0;s1;的定義，黎曼的ZETA函數。」
「那我要回去了，你慢慢想吧。」
米爾迦上將手上的粉筆灰弄掉之後走向教室門口，接着她回頭對我說：
「先告訴你一件事。你的缺點就是不畫圖，數學可不是隻有式而已。」
8．7兩個世界，四種演算
夜晚。
我在自己的房間裏打開筆記本，思考着米爾迦的問題8－3。
是在離散的世界中，找出對應對數函數㏒<以e爲底，>的函數問題。
以前調查指數函數的時候，解決了將De<次方>＝e<次方>與ΔE0;1;＝E0;1;互相對應的問題，成功地將微分方程式與差分方程式彼此對應。
這次就從對應對數函數的微分方程式開始吧。
我曾在書上看過對數函數㏒<以e爲底，>的微分。
f0;1;＝㏒<以e爲底，>
↓微分
f’0;1;＝1/
將『微分之後變成1/』這個性質，當成是滿足對數函數的微分方程式思考，由於1/也可以寫作<－1次方>，所以可以用『微分之後變成<－1次方>』表現，用米爾迦以前用過的微分算子D來寫的話，就變成下列式子。
D㏒<以e爲底，>＝<－1次方>滿足對數函數的微分方程式。
以此類推，在離散世界對應㏒<以e爲底，>的函數L0;1;會滿足下面的差分方程式，並將平常的－1次方取代爲遞降階乘的－1次方。
ΔL0;1;＝<－1次遞降階乘>滿足函數L0;1;的差分方程式
不過之前和米爾迦討論的時候，只考慮到遞降階乘
中n＞0的狀況而已。
※※遞降階乘的定義0;n爲正整數1;
＝0;－01;0;－11;0;－21;……0;－0;n－11;1;
咦？
「啊，說得也是。假如蒂蒂你不方便的話……」
↓↓
解答8－3
n＝4，3，2，1的時候，
會如同下面的式子。
×<－2次遞降階乘>除以0;＋31;的話會得到<－3次遞降階乘>。
H
－H
＝1/0;n＋11;調和數H
的遞推公式
<1次遞降階乘>＝0;－01;
微分D←對應→差分Δ
一如往常在回家的路上，我和蒂蒂並肩走向車站，我簡單地說明米爾迦的問題和我的成果。
※※對數函數與調和數的關係
「我從都宮那裏拿到免費的招待券，說不定值得去看看，你不喜歡嗎？」
米爾迦一如往常地將我的筆記本拿走開始寫上算式。
<－3次遞降階乘>＝1/0;0;＋11;0;＋21;0;＋31;1;
×<2次遞降階乘>除以0;－11;的話會得到<1次遞降階乘>。
連續世界的積分用dt寫會不會比較好？那離散世界……就需要δk了，啊，假定δk＝1的話就能順利對應。
不過對於對數函數和調和數有什麼密切的關聯，還是沒什麼感覺。
右邊以－1的定義變成1/0;＋11;，所以差分方程式會變成下面的式子。
『連續世界』『離散世界』
8．9．1折積
我們陷入短暫的沉默，只是向前漫步。
這樣的話，必須適當地考慮在n≤0的狀況要如何定義
。
※※兩個世界，四種運算
嗯，漂亮地整合起來了，調和數字於圖中的「和分Σ」，也就是說要回到左下的連續世界……啊，對了！㏒<以e爲底，>微分的話會變成1/，也就是說將1/積分的話就會變成㏒<以e爲底，>，好厲害，積分的倒數與和分的倒數完全對應了，因爲寫成㏒<以e爲底，>所以看不出來，要是寫成∫<,1>0;1/t1;的話就好了。
原本蒂蒂興味盎然地聽自信滿滿的我說話，卻突然停下腳步，還表現出一副垂頭喪氣的模樣。
要是能從這裏求出L0;1;就好了……咦？
好，那就照米爾迦說的來畫圖，將積分與和分表示的面積畫出來。
『你的缺點就是不畫圖。』
「不，不是這樣喔。」我也停下了腳步對她說。
ΔL0;1;＝<－1次遞降階乘>
「解問題時的心態就類似使用不等式來評估算式的大小，不一次都會像等式一樣馬上得到答案，而是像『從現在知道的條件來判斷，答案會比這個大，但是會比那個小……』之類的。使用自己到目前能使用的方法，慢慢地接近答案，並不一定會一下子全盤瞭解，在知道的地方先釘下楔子，再用鐵撬慢慢地移動岩石，也就是用已知的鑰匙打開未知的門。」
「啊，對了，這星期六要不要去天文臺？」
[插圖：作只有正座標軸的平面直角座標系，畫出y＝1/的圖像。描出0;1,11;點，投影到座標軸上。之後，在其右側任取一點0;，1/1;，投影到軸上。此時0;1,01;、0;1,11;、0;,01;、0;，1/1;四點以座標軸與圖像爲邊界圍成的不規則圖形的面積㏒<以e爲底，>＝∫<,1>0;1/t1;]
<－2次遞降階乘>＝1/0;0;＋11;0;＋21;1;
×<－1次遞降階乘>除以0;＋21;的話會得到<－2次遞降階乘>。
「我從頭開始說明，首先思考下列式子的積。」米爾迦說，我默默地聽。
「……學長，我雖然說出『也想做研究課題』，但是結果完全無法找出『有趣的東西』，全部都是學長告訴我的，我的數學果然還是不行。」
將這性質自然延伸的話，會變成下面的規則。
※※對數函數與調和數的關係
假如世界上只有兩個人的話，煩惱會不會少很多呢？就是因爲人太多才會陷入比較與爭奪中吧？假如像亞當與夏娃一樣，只存在兩個人的世界，就不會有麻煩了嗎？只有亞當與夏娃的時候也有麻煩吧？不過那時候還有蛇，真的只剩兩個人的話，就不會有問題嗎？不，或許問題仍會發生，而且雖然最初是兩個人，不過遲早會從他們開始有更多的人出現，這樣的話，在豐富變化的同時說不定也產生了煩惱……
※※遞降階乘的定義0;n爲整數1;
接着回到對數函數吧，目標是解出下面的差分方程式。
「……所以得到『連續世界的對數函數』和『離散世界的調和數』是互相對應的。」
逆運算逆運算
<4次遞降階乘>＝0;－01;0;－11;0;－21;0;－31;
「嗯、嗯，我懂，在學英文的時候，在聽到以英文當母語的人的發音後，我也會希望自己的發音能像對方一樣……而且學長，我聽了學長的話之後……都會特別有活力。我、我真的……」
<3次遞降階乘>＝0;－01;0;－11;0;－21;
「咦……和學長嗎？去天文臺？跟我嗎？」蒂蒂用食指指着自己的鼻子。
「但是……看學長做出問題與解答問題時，我雖然能理解，卻沒辦法做到那種地步，要怎麼做才能做到呢？要從哪裏開始思考呢？……這讓我覺得非常不可思議。」
㏒<以e爲底，>←→H<>＝Σ
＝0;－01;0;－11;0;－21;……0;－0;n－11;1;n＞0時
∫<,1>0;1/t1;dt←→H＝Σ
δk
L0;＋11;－L0;1;＝1/0;＋11;L0;1;的差分方程式
使用調和數的標記法H
，就會變成下面的模式。
<0次遞降階乘>＝1
↑↑
這樣就解決問題8－3了。
L0;1;的差分方程式和調和數H
的遞推公式居然完全一樣！既然這樣，就定義L0;11;＝1吧，可以得到下面這種簡潔的關係式。
左邊以Δ的定義變成L0;＋11;－L0;1;。
越來越順了，演算真是能帶給我喻快的心情。
㏒<以e爲底，>＝∫<,1>0;1/t1;←→H<>＝Σ
「不、不會！不會不方便！我絕對會去的！」
＝1n＝0時
＝1/0;0;＋11;0;＋21;0;＋31;……0;＋0;－n1;1;n＜0時
我繼續向前走，蒂蒂跟在我的旁邊，我繼續說：
<2次遞降階乘>＝0;－01;0;－11;
×<4次遞降階乘>除以0;－31;的話會得到<3次遞降階乘>。
L0;1;＝H<>爲正整數
「有時候，就算是我也並不是真的有什麼新發現，而是以過去讀過的東西、解過的問題當成基礎，上課時的練習問題、自己想的課題、書裏寫的範例、和朋友討論的解法……這些都成爲我能發現寶物、挖掘寶物的原動力。」
她一邊說話一邊放慢腳步，一向活潑的蒂蒂在回家的路上總是慢慢地行走。
L0;1;＝Σ
「這個積向正無限大發散，所以稱爲形式上的積，不過將開頭的幾項展開觀察。」
×<3次遞降階乘>除以0;－21;的話會得到<2次遞降階乘>。
8．9假如世界上只有兩個質數的話
8．8已知的鑰匙，未知的門
然後可以做出下面這樣的對應關係。
蒂蒂的眼中發出光芒。
嗚……被米爾迦這麼直接說還真痛啊，比腳被踩痛多了。
等一下，在討論『微分和差分」的時候，米爾迦在最後有稍微提到關於『積分與和分』的事情，名爲『連續世界』和『離散世界』的兩個世界，還有微分、差分、積分、和分這四種演算嗎……好，畫圖整理一下。
「喔……打開數學筆記本想這件事？……那就來說說『假如世界上只有兩個質數的話』吧。」
0;JoyJ：理解並描述更糾結==1;
0;2<0次方>＋2<1次方>＋2<平方>＋……1;×0;3<0次方>＋3<1次方>＋3<平方>＋……1;
然後會變成下面的式子。
L0;＋11;－L0;1;＝1/0;＋11;不是和蒂蒂之前講到的式子相同嗎？嗯……是這個。
蒂蒂認真地聽我說。
0;無名之聲：弄這插圖的陰影還弄得我真糾結1;
<－1次遞降階乘>＝1/0;＋11;
仔細觀察的話，可以知道以下性質。
連續世界←→離散世界
「你會想要讀懂算式到底是什麼，這是非常好的一件事，一看到算式就停止思考的人非常多，在思考算式的內容之前就完全不想去碰它。當然，難的算式本來就不容易懂，但是就算完全不懂，也應該要想『到這裏爲止是我知道的，從這裏之後是我不知道的』。當人說出『沒辦法』的時候就會停止理解、停止思考，接着會找藉口說算數學又沒有多大用處，結果以後就一定會從『因爲沒用所以不讀』變成『就算有用也讀不懂』，學數學時不能有酸葡萄心理，所以願意挑戰的蒂蒂非常偉大。」
[插圖：作只有正座標軸的平面直角座標系，畫出y＝1/的圖像。描出0;1,01;、0;2,01;、0;1,11;、0;2,11;點圍成一個矩形，描出0;2,01;、0;3,01;、0;2,1/21;、0;3,1/21;圍成一個矩形……描出0;n,01;、0;n＋1,01;、0;n,1/n1;、0;n＋1,1/0;n＋11;1;圍成一個矩形，則矩形的面積和H
爲Σ
]
「你在想什麼啊？」米爾迦問我。
＝H<>
「在想假如世界上只有兩個人的話會變成怎麼樣？」
積分∫←對應→和分∑
×<1次遞降階乘>除以0;－01;的話會得到<0次遞降階乘>。
L0;1;＝Σ
「仔細想想，只要檢討一下奧雷姆的證明就應該能發現了，你看，在證明是向正無限大發散的時候，1個、2個、4個、8個，每2
個項就會形成一個羣，也就是說集合項的個數會以指數函數的方式增加，接着如果能發現指數函數的反函數——對數函數與調和數之間其實很相似就更好了。」要是在那時畫圖的話，或許就能立刻解開米爾迦的問題，結果完全如米爾迦指出的問題一樣，真是讓人心痛。
×<0次遞降階乘>除以0;＋11;的話會得到<－1次遞降階乘>。
「我很喜歡！我要去！哇、哇……學長，我好高興！啊～～可是不邀『那位學姊』可以嗎？那個……米爾迦學姊。」
「蒂蒂，學習時在自己心中多累積『原來如此』的感覺吧，不是自己想到的也無所謂，藉由閱讀完美的證明體會『這真是太厲害了』的感覺也是很重要的經驗。」
這樣就能繼續下去了。
連續世界←→離散世界
「蒂蒂希望能自己思考吧？這是很重要的，即使這麼做卻什麼也沒發現也一樣。正因爲有努力地思考過了，所以才能立刻聽懂我的話，不要忘了這一點。」
喔～～確實畫圖之後，『連續世界』與『離散世界』的呼應也能用視覺來充分理解了……真令人驚訝。
2<0次方>3<0次方>＋2<0次方>3<1次方>＋2<1次方>3<0次方>＋2<0次方>3<平方>＋2<1次方>3<1次方>＋2<平方>3<0次方>＋……
「依照指數的和來分類的話，就能看清規律。」
0;2<0次方>3<0次方>1;＋0;2<0次方>3<1次方>＋2<1次方>3<0次方>1;＋0;2<0次方>3<平方>＋2<1次方>3<1次方>＋2<平方>3<0次方>1;＋……
「也就是能用下面的二重和來表現。」
Σ
3
>>
我看着式子的展開並點點頭，接着開口說：
「米爾迦，這是折積吧，外側的Σ
會讓n以0，1，2，……的規律增加，然後裏面的Σ
會對應n列出指數的和。也就是將2與3的指數『平分』……」
「平分？……嗯，也可以這樣說，所以只擁有2或3的質因數的正整數，必定只會在這個和中出現一次，這是因爲在2與3的指數部分，0以上的整數任意組合也只出現過一次而已。」
「原來如此，的確是這樣。」我回答。
「雖然是隻擁有2或3的質因子，不過也包含1。」她接着補充。
8．9．2等比級數收斂
米爾迦繼續說：「這次就來思考下面的無窮級數的積，命名爲Q<2>。」
Q<2>＝0;1/2<0次方>＋1/2<1次方>＋1/2<平方>……1;×0;1/3<0次方>＋1/3<1次方>＋1/3<平方>……1;
「剛纔那個是向正無限大發散、形式上的積，但是這式子卻不：這是因爲Q<2>，的兩個無窮級數是收斂等此級數的關係，用等比級數公式算兩個因式的話，會出現Q2，的積的形式。」
Q<2>＝0;1/2<0次方>＋1/2<1次方>＋1/2<平方>……1;×0;1/3<0次方>＋1/3<1次方>＋1/3<平方>……1;
＝0;1/0;1－1/21;1;×0;1/0;1－1/31;1;『積的形式』
她繼續說下去。「現在試試將Q<2>從頭展開，Q<2>就會變成『和的形式』，然後分母就會出現剛纔的2
3
。」
Q<2>＝0;1/2<0次方>＋1/2<1次方>＋1/2<平方>……1;×0;1/3<0次方>＋1/3<1次方>＋1/3<平方>……1;
＝1/0;2<0次方>3<0次方>1;＋0;1/0;2<0次方>3<1次方>1;＋0;1/2<1次方>3<0次方>1;1;＋0;0;1/2<0次方>3<平方>1;＋0;1/2<1次方>3<1次方>1;＋0;1/2<平方>3<0次方>1;1;＋……
＝Σ
3
1;>>『和的形式』
最初的3個是p<1>＝2、p<2>＝3、p<3>＝5喔，在這裏思考下面的無限和Q
的有限積。」
與任何世界、任何時間分離，我與蒂蒂兩個人到達了北極點；到達了遙遠的世界、遙遠的時間，我們一起眺望宇宙，眺望着這有限卻看似無限的星空。
Q
＝1/1＋1/2＋1/3＋1/4
說完話的米爾迦伸出細舌慢慢地舔着上脣。
0;1/0;1－1/21;1;×0;1/0;1－1/31;1;＝Σ
3
1;>>
反證法——基本的證明方法之一，總而言之就是『否定想要證明的命題，將其導致矛盾』。不過，對否定想證明的命題這種難以處理法感到棘手的人也相當多。
＝∏
<0次方>＋1/p
<1次方>＋1/p
<平方>＋……>『積的形式』
「咦？米爾迦，2
3
並不能表現全部的正整數吧？就算加上1，也只會有包含2或3這兩個質因數的正整數而已，像是5或7或10之類的都不會出現。」我說。
「從反證法的假設，世界上的質數只有m個，從質因子分解的唯一性可知，全部的正整數2
次方>3
次方>5
次方>……p
次方>有唯一的分解法，也就是說……將Q
展開的各項1/0;質數的積1;的分母中，所有的正整數必然只會出現一次。」
※※調和級數與質數的無限性質
「沒錯，由收斂的無窮等比級數可知Q
是有限的。」米爾迎接二連三地說下去。
「極光！」不知從哪裏傳來小孩子的叫喊。
空中羣星閃爍，我的心中卻只浮現了正在身邊的蒂蒂身影，呼喚名字就會容姿煥發的蒂蒂、活潑的蒂蒂、認真的蒂蒂、打破砂鍋問到底，卻總是犯下簡單錯誤的蒂蒂，專注、一心一意、充滿活力的蒂蒂。
↓
「這……所以就說不行了，不管是2個還是m個都一樣，這樣假設的話。質數就會變成有限個了。」米爾迦到底想要說什麼？
Q
＝Σ
0;調和級數1;
「雖然什麼都沒有寫，不過內側的Σ滿足r<1>＋r<2>＋……＋r
＝n，故取r1，r2，……，r
做爲全部的總和。」
「假設質數爲有限個。」米爾迦乾脆地繼續說下去。
2
次方>3
次方>5
次方>……p
次方>
這樣的蒂蒂，對我……？
旁邊的蒂蒂發出讚歎聲，確實相當漂亮。
「Q<2>可以用以上兩個方法求出，也就是說下面的等式成立。」米爾迦說。
「沒錯。簡單地說，Q
就是1/0;質數的積1;各項的和，將p
的指數以n表示，讓指數之和的全部組合爲n，取出1/0;質數的積1;的和。接下來注意分母，也就是『質數的積』的部分，會變成這樣。」
「你終於發現了。」
↓
p<1>，p<2>，……，p<3>，……，p
「從反證法的假設『質數爲有限個』導出的矛盾，因此假設爲否，命越爲真，表示『質數有無數存在』，QuodEratDemonstrandum……證明終了。」
「左邊是由反證法的假設得到質數爲有限個，右邊是從調和級數得到『向正無限大發散』，所以兩式矛盾。」
↓ ↓
「米爾迦，說到證明質數無限，要用歐幾里德的方法吧？假設質數爲有限個，將全部的質數相乘再加1還會是質數……」
星期六。
——那現在開始，就讓我們飛向北極點吧。——
米爾迦豎起食指發出宣言。
矛盾
8．9．4質數無限的證明
我已經不曉得我在想什麼了。
『積的形式』←Qm→『和的形式』
「就是假設『質數是有限個』啊，你還沒發現嗎？」
＝Σ
次方>3
次方>5
次方>……p
次方>1;>>『和的形式』
我的右腕感受到蒂蒂的重量。
假設爲否
她彷彿手術前的外科醫師般將兩手展開宣言。
米爾迦面對着我說。
「分母中『所有的正整數必然會只出現一次』，也就是下式會成立的意思。」
「左邊是積，右邊是和啊。」我說。
過了一會兒，照明關上了，四周投影出一片黃昏景色，太陽西下，星星一顆一顆地浮現，夜空不久後佈滿大大小小的光點。
8．9．3質因數分解的唯一性
解說員聲音停止的同時，天幕的所有星辰一齊旋轉，讓人有種置身在空中的錯覺，身體也跟着不由自主地僵硬起來，我們很快就到達了北極點。
↓
「這、這個……最後的式子我不太懂，特別是內側的Σ什麼都沒有寫。」
↓
「也就是會形成下式。」
「假設質數的個數有m個，則全部的質數依照由小到大的順序可以大小成……
我看着式子思考。
假設：否定想證明的命題
「嗯……這和剛剛的2和3情況一樣。」
「沒錯，所以從現在開始會變得更有趣。」
＝∏
1;>
我說到一半的時候，米爾迦將手指伸到我的面前搖晃，要我別再說下去。
∏
1;＝Σ
「然而現在Q
又等於調和級數Σ
。」
就在這時……
結論：則命題爲真
「從現在開始就要使用反證法證明質數有無數存在。」
8．10天文臺
「那麼在這裏假設『世界上只有2和3兩個質數』，然後所有的正整數就一定只會在的分母2
3
出現一次。」
「你說的是質因子分解的唯一性吧，『比1大的所有整數都可以用唯一的質數積表示』。所以你想說『世界上只有2和3兩個質數的話，就不會有5或7的整數』？不過『世界上只有兩個質數』的話題還是到此停止吧。總覺得不會有什麼結果。」
「嗯……啊，原來如此，沒錯，由於質數p
是2以上，所以等比級數1/p
<0次方>＋1/p
<1次方>＋1/p
<平方>＋……會收斂在1/0;1－1/p
1;，也就是會成爲有限的數值。」
結論：質數是無限個
「好漂亮……」
「簡單地說，就是將剛纔的Q<2>中的兩個質數變成m個，然後因爲是m個有限的數值相乘，所以也是有限的。」
我們共享着有限的時光，所見所知極其細微，可是我們掌握了無限，我們將所見化爲方法、將所知化爲工具，我們沒有翅膀，但是我們有語言。
「我知道了，你這麼說的話就算了，不接受質數只有2個的原因是質數根本不可能只有2個，那假設世界上的質數只有m個。」米爾迦說。
我的心臟「撲通」一跳。
「就是十八世紀最偉大的數學家——萊昂哈德×尤拉啊。」
＝0;1/0;2<0次方>3<0次方>5<0次方>……p
<0次方>1;1;＋0;0;1/0;2<1次方>3<0次方>5<0次方>……p
<0次方>1;＋……＋0;1/0;2<0次方>3<0次方>5<0次方>……p
<1次方>1;1;＋……——以指數和分類
天文臺裏有許多情侶與帶着小孩的父母，我與蒂蒂在相鄰的座位坐下，圓頂的中央擺設了一臺形狀怪異的黑色投影機。
「！」我說不出話來。
「這就是『指數之和爲n的全部組合』嗎，米爾迦？」
解說員講解從北極點可以看見哪些星座、地軸傾斜與永晝的現象，聲音雖然在我的耳邊響着，卻到達不了我的腦海。
「這完美的證明是從被稱讚爲『他計算起來好像一點也不費力，有如人呼吸空氣、老鷹乘風飛翔一樣』的老師得來的。」
即使心意無法完全重合，倘若保持一致，看起來就能十分相近，即使會花上許多時間……即使有如遞推公式一樣緩慢行進。
※※反證法
Q
＝0;1/2<0次方>＋1/2<1次方>＋1/2<平方>＋……1;×0;1/3<0次方>＋1/3<1次方>＋1/3<平方>＋……1;……0;1/p
<0次方>＋1/p
<1次方>＋1/p
<平方>＋……1;
↓
調和級數的發散竟然會與證明質數的無限有關連……真讓人喫驚，這可是相當貴重的寶物。
↓
「所以才假設『世界上只有2和3兩個質數』，假如世界上只有2和3這兩個質數，就不會有5或7或10之類的整數了，還不懂我在說什麼嗎？」她回答。
Q
＝∏
1;>0;有限的值1;
假設爲否
「好，就到此告一段落了。」
她抱住我的手肘、將身體靠在我的身上，從她身上傳來的香味變得更濃了。
Q
＝0;1/2<0次方>＋1/2<1次方>＋1/2<平方>＋……1;×0;1/3<0次方>＋1/3<1次方>＋1/3<平方>＋……1;……0;1/p
<0次方>＋1/p
<1次方>＋1/p
<平方>＋……1;
蒂蒂……
「啊！」是調和級數。
看着米爾迦的表情，我突然想到了。
「將剛纔對2與3做的事情同樣地移到對m個質數上，也就是在有限的前提下具體地展開算式，用你的表現方式來說，這次不是兩個質數『平分』，而是m個質數『平分』。」
假設：質數是有限個
「反證法……嗎？」
細微的光芒不斷迭合，形成了一片簾幕；起伏的層次互相交合將我們圍在中央，觀客們也安靜下來，沉浸在光的旋律之中。
「和學長一起來天文臺讓我有點緊張，今天早上我起得非常早喔，嘿嘿。」蒂蒂敲了敲自己的頭。
「明明Q
是有限，但是總和卻會發散。」
「會變成這樣的式子。」米爾迦說。
收斂在有限值→Qm←向正的無限大發散
「我們的老師是……？」
……就這樣，時間逐漸流逝，天空的極光終於像被吹散般消失，解說員沉穩的聲音將我們帶回現實。
——各位有好好享受這短暫的旅程嗎？一—
照明亮起，羣星被白光吞噬，剛纔繁星籠罩的天幕變成了近似多媒體的屏幕。
從幻想中歸來的觀客們像是不捨卻又鬆口氣似地咳嗽、伸懶腰、準備起身，大家都各自回到了自己的生活裏。
但是……
但是我仍然被蒂蒂抓着，我們依舊留在北極點；在遙遠的世界、北極光之下。
嗯……要怎麼出聲比較好呢？我慢慢地看向她。
「……咦？」
蒂蒂靠着我睡着了。
而且還睡得很沉。
★★「我」的筆記本
部分和Σ
>＝a<1>＋a<2>＋a<3>＋……＋a
無窮級數Σ
>＝a<1>＋a<2>＋a<3>＋……
調和數H
＝Σ
＝
調和級數H<∞>＝Σ
＝0;1/11;＋0;1/21;＋0;1/31;＋……
黎曼函數ζ0;s1;＝Σ
>
黎曼函數與調和級數ζ0;11;＝Σ
黎曼函數與尤拉積ζ0;s1;＝∏<質數p,f0;k1;,1/0;1－1/p
1;>
第9章泰勒展開式與貝塞爾問題
我在這裏將連貫的數章分開，
蒂蒂說完話，她的手像是抓着透明的樓梯般地一層一層往上爬，這樓梯大概會一直朝天空延伸下去……
「武器嗎？」蒂蒂閉上左眼，擺出對我射擊的動作。
「因爲若是係數使用a，b，c，……，z，就表示只能從0到25次方而已，畢竟英文字母只有26個，而且……變量已經用了，係數就不能再用用。再來，a
一樣使用k這個變量，在廣義化的時候也會比較容易，因爲『導入變量而形成廣義化』……那麼在這裏，將問題9－1的式子去掉∑寫寫看。」
「冪級數就是這張卡片右邊的無窮多項式，多項式則是……例如，你知道對的二次多項式吧？」
若不準備好解析無限的方法，
「嘿嘿嘿，是啊，我跟村木老師說『學長正在數我數學』，結果老師就拿了卡片給我，說一張是我的，另一張給學長，就是這樣，所以我今天是郵差喔。」
9．1．2無窮多項式
9．1．1兩張卡片
a<0>＋a<1>＋a<2><平方>二次多項式0;a<2>≠01;
「也不是，因爲激動喊着0！的話，就會變成1了。」
「能知道實際的數值嗎？a<0>，a<1>，a<2>，……全部的實際數值？」
「啊，好的。」
她似乎有點不知所措，我說得太過火了嗎？
而蒂蒂的卡片則是……
「啊，是的……對不起。」她回過神後低下頭，不好意思地看了看周圍。
「蒂蒂，看着這張圖想想看，a<0>是什麼？能說出具體的數值嗎？」
「那個，學長……無窮多項式是這樣寫嗎？總覺得很奇怪。」
「不是……方程式？」
「不對不對，這樣太麻煩了，蒂蒂，無窮多項式要從次數小的項開始寫，不然會變成在指數部分加上∞的奇怪狀況，無限次方的『無限』部分由最後的刪節號0;……1;表現，比較下面這兩個式子就很清楚。」
「蒂蒂喜歡英語吧……你會讀外文書籍吧？」
「原來如此。」我不禁微笑。
探求着無窮級數的諸多性質與其總和。
原來如此，蒂蒂會寫成這樣……
「這樣就能求出序列a
嗎？」
「……」
「呃，這個……學長，可以先教我一點開頭嗎？實際解問題時我會自己加油的……只要一開始的部分就好。」
蒂蒂的表情相當豐富，當她開心的時候、困擾的時候、陷入思考的時候，心裏的想法會直接反應在臉上，越看越覺得自己的心情也會隨之起舞。
蒂蒂認真地看着式子與圖，開始尋找a<0>的值。
「……繼續吧，能知道a<0>以外的值嗎？」
「那個……學長，像sin＝Σ
>這種方程式，我怎麼解都解不開。」
在回家的路上，我和蒂蒂在曲折的住宅區小巷裏往車站前進，我一如往常地配合着蒂蒂的腳步慢慢行走。
「……不過，就算知道sinπ/2＝1，重要的……右邊的冪級數以π/2代入的值卻不知道，所以我很挫折，唉～～」
嗯……大眼睛是蒂蒂的註冊商標啊，靈活轉動的瞳孔、誇張的動作也讓人有很不錯的感覺，而最重要的是，她以直率的性格作爲一切的根本……不過，分析這個也沒有意義，蒂蒂就是蒂蒂啊。0;無名之聲：你還好意思說1;
Σ
>
「咦？蒂蒂也拿到村木老師的卡片嗎？」
「是啊，我常常讀paperback。」
「……」0;無名之聲：激動地喊0就變成「0!」，數學上人們定義0!＝1，這個冷笑話還真冷，男豬你還是專學數學吧，哄女生你沒天分＝。＝1;
一如往常的圖書室，一如往常的放學後，一如往常的活力少女——蒂蒂。
「好的。」
「蒂蒂在這方面比較被動嗎？」
※※0;蒂蒂的卡片1;
蒂蒂將臉湊近用雙手拿着的卡片，應該是在思考式中的意思。
「啊……對不起，要輕聲細語……對吧？」
「啊，原來如此。先寫的指數比較小的部分，這樣說也沒錯……話說回來，爲什麼不用a，b，c，……，而是用出a<0>，a<1>，a<2>，……呢？」
這些無窮級數具備着無法一探究竟的性質。
「因爲知道代入＝0會得到a<0>＝0，所以想代入＝π/2或＝π計算看看，畢竟我對sin的瞭解只有sinπ/2＝1或sinπ＝0之類而已……」
——尤拉[25]
「要給你提示嗎？」
我則是開始面對我的卡片Σ
>，我先打開筆記本、握起自動鉛筆，首先……從掌握具體的型態開始。
a<平方>＋b＋c二次多項式0;a≠01;
sin＝Σ
>
「咦？我也能想出來嗎？」
「嗯，這不是方程式，而是恆等式，想辦法讓這張卡片上的式子變成恆等式——也就是要對所有成立——要我們求出數列a<0>，a<1>，a<2>，……的問題。」
假設函數sin如下展開冪級數，求此時之序列a
。
我的卡片上寫着這樣的式子。
a<0>＋a<1>＋a<2><平方>＋……無窮多項式0;冪級數1;
「冪級數……是……？」
「那試試看像這樣設定問題吧。」我邊說邊在蒂蒂的卡片上寫下問題。
「蒂蒂，這不是求的問題，也就是說，這個式子不是方程式。」我笑着回答。
「絕對可以，現在在這裏努力地想想看。」
[插圖：y＝sin]
「研究函數最強的武器之一就是微分。」
「學長，我的卡片是『研究課題』吧？」恢復認真表情的蒂蒂在我旁邊坐下後發問。
「沒錯，『研究課題』……以這張卡片爲出發點，自己做出問題，自由地思考，村木老師有時候會出這種問題給我們。」
9．2自我學習
9．1圖書室
總是充滿活力的蒂蒂跑向我，揮舞手上的卡片並大聲呼喊我的名字，不過音量稍微……
sin＝Σ
>
這裏是圖書室，高中生的我們安靜地開始用功。
她伸出食指，一邊小聲地說「波形、波形、波形」，一邊畫着正弦曲線。
※※問題9－1
「不會，我會自己查字典，不會等到上課才學，因爲我想先讀完文章……啊，學長要說的就是這個吧？」
「蒂蒂，這裏是圖書室，而高中生的我們需要安靜，所以請輕聲細語。」
「微分……我還沒學到，嗯，是有聽說過，我自己也有興趣。」
「正確答案，不過不可以太激動。」
「是的，但是嚴密來說不正確，必須再加上a≠0這個條件，不然的話……假如a＝0，b≠0就不是二次多項，而是一次多項式了，將加上去試看看。」
「關於sin的冪級數思考到哪裏了？」
sin＝a<0>＋a<1>＋a<2><平方>＋a<3><立方>＋……
a<∞次方>＋b<∞－1次方>＋c<∞－2次方>＋……無窮多項式0;？1;
「唔……」
「沒錯，爲什麼呢？」
「當遇到不知道的單字時，你會等老師來教你嗎？」
蒂蒂露出純真的笑容。
直到無限的遠方爲止。
嗯，活力女孩蒂蒂在必要時的集中力也很恐怖，這也是她的特色之一吧。
「學長，這很簡單，我知道了，是0！a<0>＝0！」
※※0;我的卡片1;
「學長～～信來了！」
「沒錯，全部。將三角函數畫成圖的話，就會變成這樣的曲線，是所謂的正弦曲線，看這個圖可以立刻找出a<0>。」我邊畫圖邊說。
蒂蒂開始跟問題9－1奮戰。
過來一會兒，她高興地抬起頭。
「被動……？」
a<平方>＋b＋c二次多項式0;？1;
「在圖書館或書店有很多很好的書，從學習用的參考書到專門書籍都隨你挑選，在學校跟老師學習，這在啓發上很重要，但是從頭到尾都在學校等着老師教你就太被動了，假如這是興趣的話……」
sin＝a<0>＋a<1>＋a<2><平方>＋……＋a
＋……
確實圖書室裏只有我們……但是太過吵鬧而驚動管理員瑞谷老師就麻煩了。
「這個嗎？」蒂蒂打開筆記本。
「……」
「嗯……來，這是學長的卡片。」她將手上的兩張卡片看了一會兒，遞給我其中一張，然後說：「這是我的」，而將另一張卡片放在胸前。
「蒂蒂知道研究函數最強的武器嗎？」
sin＝a<0>＋a<1>＋a<2><平方>＋a<3><立方>＋……
「還沒還沒。這只是將剛纔問題9－1的∑具體地寫出來，這是將sin的變化當成手段，來求出a
的問題，最後可以找出a<0>，a<1>，a<2>，……的實際值。」
她馬 上回答並動手寫在筆記本上，真純真。
自己解出a<0>＝0正確答案的蒂蒂，再度用她的大眼睛端詳算式，並且開始計算。
「看這張圖就能知道sin0的值是0了，因爲圖上有通過＝0，y＝0的點，也就是說＝0，式子a<0>＋a<1>＋a<2><平方>＋……應該要等於0、等於sin0，然後也因爲＝0，所以右邊的式子只剩下a<0>，除了a<0>之外其它的係數都乘上＝0而剩下a<0>，因此a<0>的值是0。」
「是的，我們因爲喜歡而去學，沒有必要等待老師，也不用等到上課，可以自己找書、可以自己閱讀，這樣就能學得更深更廣。」
「的確……我在讀英文書籍時會自己前進，會期待『再來要讀哪本書呢？』不只是查單字，也會在辭典裏找同義字之類的，原來數學也是要這樣學習，想想這也是當然的……不過因爲上課還沒上到，所以好像會有種先學不太好的感覺。」
「……話題好像變了，剛剛說到哪裏？」
「Wherewerewe？」
「咦？」
「學長……我們到『Beans』一起想吧。」
對於蒂蒂滿懷期望的提案，我沒有任何抵抗能力。
9．3『Beans』
9．3．1微分的規則
這已經是第幾次和蒂蒂一起來車站前的咖啡廳『Beans』呢？曾幾何時，我們已經習慣並肩坐在一起了，爲什麼……要說爲什麼的話，因爲面對面坐着不方便閱讀算式，我們坐下後攤開筆記本。
「從這裏開始，若是不曉得三角函數的微分和多項式的微分，會稍微辛苦一點，不過在困難的地方我會說明『微分的規則』的關鍵。」
「……沒關係，我會加油的！」蒂蒂握緊雙拳。
「將sin以下面的冪級數表現。」
sin＝a<0>＋a<1>＋a<2><平方>＋a<3><立方>＋……
「sin並不是自然地就能以這種形式表現，必須經過證明，不過現在先暫時不管，而現在的目標是解開無窮數列a
＝a<0>，a<1>，a<2>，……會變成什麼樣的數列，將sin這個函數分解成a
這個數列，這就是函數的冪級數展開……到這裏爲止明白嗎？」
蒂蒂認真地點點頭。
「然後a<0>的值在剛纔已經被蒂蒂用＝0找到了，因爲＝0，所以下式成立。」
a<0>＝0
蒂蒂看了之後微微點頭。很好，繼續下去吧。
「你還不知道微分，不過現在沒有時間，沒辦法從微分的定義開始說明，所以就先將微分當成一種計算的規則吧，將微分當成『從函數中做出函數的計算』……雖然也不能算是錯誤的。」
[插圖：y＝cos]
cos＝5×4×3×2×1×a<5>＋……
「這樣就求出a<2>＝0了，我似乎充分地運用最強的武器了，狀況越來越好……好的，下一個『微分的規則』是什麼？」
「學長！我看到之後要怎麼做了！接下來要把cos微分吧？」
「沒錯，將f0;1;這個函數微分的話，會得到另一個函數，而這個函數被稱爲f0;1;的導函數，f0;1;的導函數寫成f’0;1;，雖然也有其它書寫方式，不過f’0;1;比較常被使用。」
「把『微分的規則』當成是一開始給予的工具吧。」蒂蒂改口說。
cos＝a<1>＋2a<2>×0＋3a<3>×0<平方>＋4a<4>×0<立方>＋……
「在這裏列出一些限制微分的『微分的規則』，假如學過微分的定義，這些規則都可以由定義證明，不過這裏就先跳過。」
－sin＝2a<2>＋6a<3>＋12a<4><平方>＋……由上述所得的式子
「咦？……啊！沒問題！」
「繞圈？」
sin＝4×3×2×1×a<4>＋5×4×3×2×a<5><1次方>＋……
「真的是這樣。」
cos＝a<1>＋2a<2>＋3a<立方><平方>4a<4><立方>＋……
0;
1;’＝n
0;指數會下降1;
微分
「就會變成這樣！」抬起頭的蒂蒂臉上泛起紅潮。
9．3．2再微分
「是a<2>，就像之前一樣代入＝0。」蒂蒂迅速地寫在筆記本上。
「接下來就用求出的導函數，以＝0觀察式子會變成怎麼樣吧。」
↓微分
「『從函數中做出函數的計算』嗎？」
「嗯，沒錯，這要求的係數是？」我問。
「但是這次要－sin……啊，這可以sin的微分得到。」
我們喝着已經冷掉的咖啡，將筆記本翻到新的一頁，我給她口頭上的提示，蒂蒂自己在筆記本中寫上算式。
cos＝a<1>＋2a<2>＋3a<立方><平方>4a<4><立方>＋……
「我知道了，接下來求a<2>。」
－cos←－sin
「好的，是這樣吧。」
「我懂了，學長，我理解『微分的規則』怎麼導出以下的式子了。」
sin＝a<0>＋a<1><1次方>＋a<2><平方>＋a<3><立方>＋a<4><4次方>＋a<5><5次方>……
－cos＝3×2×1×a<3>＋4×3×2×a<4><1次方>＋5×4×3×a<5><平方>……
－sin＝2a<2>＋6a<3>＋12a<4><平方>＋……剛纔得到的式子
「微分的結果會像下面的算式，能理解嗎，蒂蒂？」
「咦？把apriiven？」0;無名之聲：「apriori」，法語單詞，表示「先驗的，由因及果的，演繹的」1;
「好的，是像小時候的牽牛花觀察日記一樣觀察吧……嗯，因爲sin0＝0且cos0＝1……」
「現在我們要做sin的冪級數展開，剛纔已經求出了係數中的a<0>，a<1>，a<2>，a<3>四個數，接着就是要統整，再寫一次sin的冪級數展開吧。」我說。
『微分的規則0;31;』sin微分會變成cos。
「這樣的話，把cos微分……」
.
她反覆看了看『微分的規則』與上面的式子。
「因爲a<0>，是與無關的常數，所以用『微分的規則0;11;』消去，常數的微分會變成0。」
「稍等一下，雖然一個一個求下去也是可以，不過試着統整全體看看，沒問題吧？」
a<2>＝0用sin0＝0整理式子
f0;1;函數f0;1;
↓微分
「兩邊同時微分，不過現在不要將係數計算出來，以積的形式保留下來，這是關鍵。」
0;cos1;’＝0;a<1>＋2a<2>＋3a<3><平方>＋4a<4><立方>＋……1;’
「嗯……左邊是『微分的規則0;31;』吧，sin微分會變成cos，然後右邊將『微分的規則0;21;』用在各項。」
sin→cos
「那麼看看下面的式子，蒂蒂知道a<1>的值嗎？假如看y＝cos的圖應該就知道了。」
a<1>＝1
sin＝a<0>＋a<1>＋a<2><平方>＋a<3><立方>＋a<4><4次方>＋……
－sin＝2a<2>代入＝0
蒂蒂的臉上浮現出笑容。
＝a<1>
cos＝a<1>＋2a<2>＋3a<立方><平方>4a<4><立方>＋……
微分↑↓微分
※※三角函數微分
↓微分.
「沒錯，雖然本來應該要先證明可以適用在微分算子的線性與冪級數上。」
「啊，不過爲什麼a<0>消失了？」
「沒錯，不要計算，讓積保留下來比較容易找出『規則性』。來，試試看，要特別注意常數項。」
f’0;1;函數f0;1;的導函數
0;a1;’＝0
「沒錯。」我點點頭。
「咦？學長……不要計算嗎？」
－sin＝2×1×a<2>＋3×2×a<3><1次方>＋4×3×a<4><平方>＋5×4×a<5><立方>……
「然後從圖中得cos0＝1，所以……會變成這個答案吧！」
＋1＝1×a<1>
『微分的規則0;21;』
微分會變成n
。
.
「……好的，求出a<3>＝-1/6了，再來是a<4>……」
0;cos1;’＝－sin
↓微分
微分
－sin＝2a<2>＋6a<3>＋12a<4><平方>＋……
「沒錯沒錯，自己動手寫出算式就能清楚體會這種感覺，不能只是看，動手寫也是很重要的，蒂蒂。」
－cos0＝6a<3>代入＝0
0＝a<0>
「……嗯，就是這樣，接着將下面兩個式子對微分。」我在筆記本中寫上式子。
「咦？……啊，難道說和剛纔一樣嗎？將0代入cos＝……的式子就好了吧？嗯……這樣子對嗎？」
「嗯，這樣就好，對了，將寫成<1次方>吧。」
－cos＝6a<3>＋24a<4>＋……用『微分的規則』
0;sin1;’＝0;a<0>＋a<1>＋a<2><平方>＋a<3><立方>＋a<4><4次方>＋……1;’
※※『微分的規則0;11;』常數的微分會變成0。
「將sin微分就變成cos，將cos微分就變成sin……會變成下面所列的『以4次爲週期的循環』，這就是三角函數微分的特徵。」我對蒂蒂講解性質。
sin＝a<0>＋a<1><1次方>＋a<2><平方>＋a<3><立方>＋a<4><4次方>＋a<5><5次方>＋……
0;－sin1;’＝0;2a<2>＋6a<3>＋12a<4><平方>＋……1;’將兩邊微分
「好的！」
※※『微分的規則0;41;』cos微分會變成－sin。
「學長！我找到『規律性』了，會出現5×4×3×2×1這樣規則的積……原來如此，『微分的規則0;21;』的『指數會下降』發揮效果了，我已經瞭解相乘數會有規則的變化。」
「已經不用了。」
0;sin1;’＝cos
「沒錯，就是這樣，爲此需要0;cos1;’的計算規則，這是cos用的『微分的規則』。」
9．3．3sin的泰勒展開式
「這些『微分的規則』是把apriiven吧。」蒂蒂說。
↓微分
cos＝1×a<1>＋2×a<2><1次方>＋3×a<3><平方>＋4×a<4><立方>＋5×a<5><4次方>……
「沒錯，之後就是反覆繞圈。」
cos＝a<1>＋2a<2>＋3a<3><平方>＋4a<4><立方>＋……
sin＝a<0>＋a<1>＋a<2><平方>＋a<3><立方>＋a<4><4次方>＋a<5><5次方>＋……
a<3>＝-1/6用cos0＝1將式子整理
0＝2×1×a<2>
－1＝3×2×1×a<3>
0＝4×3×2×1×a<4>
＋1＝5×4×3×2×1×a<5>
「發現『規則性』了！」
「嗯，左邊的1寫成＋1或許比較好，現在要求的是序列a
，將上式的各個a
整理到左邊，5×4×3×2×1由於是階乘，所以寫成5!，這樣就能做冪級數展開了，將下式的ak具體地寫出來。」
sin＝a<0>＋a<1><1次方>＋a<2><平方>＋a<3><立方>＋……
「好的！0不用管，所以就是a<1>，a<2>，a<3>，…………好，完成了！」
「嗯，蒂蒂所寫的這個冪級數展開，被稱爲sin的泰勒展開式喔。」
※※sin的泰勒展開式
sin＝＋0;<1次方>/1!1;－0;<立方>/3!1;＋0;<5次方>/5!1;－0;<7次方>/7!1;＋……
「我正想說是蒂德菈展開式呢……」
「……」
「……不、不過這好像很難記起來，好複雜。」
「確實是很複雜，不過你仔細看，式子裏遠留下許多推導時的痕跡，例如分母的1!，3!，5!這些階乘就是不斷微分指數、數字下降的結果。＋與－號的交錯，沒有的偶次方項，這都是來自0，＋1，0，－1的環，自己動手導出的公式並不容易忘記。」
「哈哈……原來如此，或許沒那麼難……吧。」
「假如故意不用階乘與乘冪來寫的話，就會形成很有節奏感的有有趣算式。」
sin＝＋0;/1!1;－0;0;××1;/3!1;＋0;0;××××1;/5!1;－0;0;×××××××1;/7!1;＋……
「不，不會不會，蒂蒂，你真的很厲害，能清楚地瞭解本質，就是這樣，在要研究函數的時候，能將函數以泰勒展開式的形式展開，可以在比較方便的多項式延長線上進行研究，例如能像剛纔一樣思考的話會非常有用，因爲是無限次所以必須特別注意演算，可是改用冪級數就會十分方便，話說回來，解斐波那契數列和卡塔蘭數的時候，用的生成函數也是冪級數。」
a
＋a
＋……＋a<1><1次方>＋a0＝a
0;－α<1>1;0;－α<2>1;……0;－α
1;
Σ
>＝1＋1/2<平方>＝1.25
她的目光突然從我的臉上移開，轉向桌上的圖表用紙，蒂蒂的臉上不知爲何染上一抹嫣紅。
「當然沒問題，爲了增加樂趣或是方便理解，可以試試很多種不同的寫法喔，尤拉也曾經在書裏把<平方>寫成，不過考試的時候寫成×就不太好，那麼現在就可以解答卡片上的問題9－1了。」
「那個……可以寫有節奏感的泰勒展開式嗎？總覺得想寫寫看。」
「嗯～～不是這樣，是因爲蒂蒂的理解能力……」
sin＝Σ
>
Σ
>＝1/1<平方>＋1/2<平方>＋1/3<平方>＋1/4<平方>＋1/5<平方>＋……
ζ0;11;＝Σ
>0;將調和級數以黎曼函數表示1;
Σ
>＝1.463611……＋1/6<平方>＝1.491388……
思考的我看着從米爾迦手中寫出來的算式，代數基本定理與因式定理的解說『上課』告一段落，她開始用解將n次多項式進行因式分解。
「啊……不……」
s<5>0;1;＝＋/1－0;××1;/0;1×2×31;＋0;××××1;/0;1×2×3×4×51;
a
＝＋1/k!k除以4得到的餘數爲1的時候
Σ
>＝1.527422……＋1/9<平方>＝1.539767……
問題9－2
「喔……原來如此。學長，我不懂將sin以冪級數表現是什麼意思，雖然我能理解用『微分的規則』導出式子，但是會有種『所以呢？』的感覺。不過看到這張圖，k變大之後sk0;1;會接近sin就懂了，這樣慢慢貼近正弦函數的樣子好可愛。」
首先先將Σ具體寫出來，抓住式子的感覺。
「你叫哥哥的話，或許他會很高興喔。」米爾迦仍舊對着黑板寫着算式，頭也不回地說。
米爾迦把我拉到黑板前開始『上課』。
「咦……看起來好漂亮，這樣寫也可以嗎？」;
Σ
>
Σ
>＝1.3611……＋1/4<平方>＝1.423611……
ζ0;21;＝Σ
>0;將問題9－2以黎曼函數表示1;
「那、那個……學長。雖然我不太會說，那個sin……就只是個名稱吧，只是將某個函數以sin表示而已，泰勒展開式也是將同樣的函數以冪級數的形式表現。就『sin』與『冪級數』來說，雖然看起來相當不一樣，但是函數的性質沒有改變，所以，變成冪級數的形式會相當方便。唔……不好意思我不太會表達。」
算了，這個部分和看起來不會急遽增加，不過也不能確定會收斂，之前計算調和級數的時候，也是有緩緩發散的級數。
「咦？」
9．5代數基本定理
[插圖：y＝sin與y＝s<5>0;1;＝＋/1－0;××1;/0;1×2×31;＋0;××××1;/0;1×2×3×4×51;在同一平面直角座標系內]
「米爾迦，代數基本定理？是『n次方程式會有n個解』嗎？」
「其實真正的『代數基本定理』只要『任意複數係數的n次方程式，至少會有1個解』就好了，只要至少有1個解α，就能以－α這個因式來分解n次多項式，從現在開始要證明n次方程式a
＋a
＋……＋a<1><1次方>＋a<0>＝0至少會有一個解，首先思考函數f0;1;＝a
＋a
＋……＋a<1><1次方>＋a<0>吧，然後調查函數的絕對值|f0;1;|能到多小，假如最小值是0的話，就表示有解，在這之前先來複習複數，沒問題吧……」
這樣說的話，這個式子和調和級數十分相似。
s<3>0;1;＝＋/1－0;××1;/0;1×2×31;
「話說回來，現在稍微深入思考一下sin的泰勒展開式的內涵，再寫一次sin的泰勒展開式。」
這兩個人什麼時候這麼協調了？口吻也這麼相近，真奇怪。
命名，命名啊。不過……就算像這樣命名，也沒辦法打開視野。
a
＝0k除以4得到的餘數爲2的時候
9．4自家
「喔，與傳聞中的妹系角色——活力女孩的會面！」
s<7>0;1;＝＋/1－0;××1;/0;1×2×31;＋0;××××1;/0;1×2×3×4×51;－0;×××××××1;/0;1×2×3×4×5×6×71;
[插圖：y＝sin與y＝s<3>0;1;＝＋/1－0;××1;/0;1×2×31;在同一平面直角座標系內]
使用這個定義，將調和級數以ζ0;11;表示。
Σ
>＝1/1<平方>＝1
「咦？啊，好的，我已經忘了卡片的事了……是這個吧。」
「雖然這是高斯老師發現的，不過令人驚訝的是他當時才二十二歲，而且是用博士論文證明，用博士論文來證明這種基本定理是很罕見的。」
※※問題9－1
米爾迦以非常快的速度在黑板上書寫着，讓我見識高斯的證明，我邊聽她『上課』，邊提醒自己是否對複數的理解不太夠，雖然感覺是懂了，不過之後必須再自己實際算過、用自己的力量證明，然後在不看證明下能寫出來纔可以，像米爾迦這樣在第一時間就能對人說明，那又是另一種階段了。
數學創造的美好、偉大及深奧，我已經開始一點一點地享受了，我會站在書店中數理書籍的前面想着：「啊，這裏擺的書我大部分都還無法理解吧」，同時也會想到她，想到她的知識到底有多寬廣。
我在自己的房間看着從村木老師那裏拿來的卡片，設定給我的如下。
我從揹包裏拿出圖表用紙。
Σ
>＝1.539767……＋1/10<平方>＝1.549767
「是啊。」
「就是這樣，學長，就像剛剛我完全不懂微分、冪級數和泰勒公式展開式這些詞也是第一一次聽到，不過我卻懂了，用了泰勒展開式就能像普通的多項式一樣研究函數，雖然要我一個人做可能還不行……不過將困難的函數變成無窮多項式——冪級數——k的無限和的方法，我已經能掌握了。」
「蒂蒂，這個式子是無窮級數——也就是由無限個項構成的和，從無窮級數中取出有限個的部分和思考看看，在這裏將到k項爲止的部分和設做s
0;1;，當然s
0;1;也是的函數。」
雖然想進行下一步，不過似乎不是那麼容易就能找到方法，先計算數值，也就是說，並非計算這個無窮級數，而是將這個的部分和以具體的n代入計算，白天都在注意蒂蒂的卡片，所以只計算到一半，先硬算看看。
「我想我不會忘記今天學長教過我的泰勒展開式，今天的我已經確實記下來了，當要研究函數的時候就『用泰勒展開式試試看吧』，這都是學長的功勞……」
「就是這樣！」
[插圖：y＝sin與y＝s<7>0;1;＝＋/1－0;××1;/0;1×2×31;＋0;××××1;/0;1×2×3×4×51;－0;×××××××1;/0;1×2×3×4×5×6×71;在同一平面直角座標系內]
嗯，還是不懂，畫圖看看吧。
Σ
>＝1.511797……＋1/8<平方>＝1.527422……
「也就是說，要看出方程式的解與因式分解有直接的關係，雖然這個式子右邊的一開始用a
，不過同時考慮到最高次
的係數就很容易理解。首先兩邊先除以a
，將n次的係數變成1會比較好思考，因爲是n次多項式，所以a
≠0，因此除以a
沒有問題。」
「畫畫看函數s<1>0;1;，s<3>0;1;，s<5>0;1;，s<7>0;1;，……的圖，也就是將y＝s
0;1;以k＝1，3，5，7，……描繪，就可以清楚地發現這個函數會漸漸接近sin。我將圖畫出來。
[插圖：y＝sin與y＝s<1>0;1;＝/1在同一平面直角座標系內]
不，想這些也無濟於事，像蒂蒂一樣喊聲「加油！」，努力地讓自己振作吧。
假設函數sin如下展開冪級數，求此時之序列a
。
※※解答9－1
蒂蒂將拳頭緊握在胸前。
於是我變得不瞭解自己，究竟是在想數學的事呢？還是想着自己的事？抑或是在想着……她的事呢？我鬱悶地發現自己的幼稚，她無論做任何事情看起來都是聰敏地完成，跟她比起來，雖然我每天都在演練算式，似乎還是被她遠遠拋在後頭。
看來米爾迦切換到多話授課模式了，在我來之前，她似乎和都宮一直在聊天，我一進入教室，都宮就立刻回到自己的座位，彷彿表現出「多話的才女就拜託你了」的感覺。
蒂蒂打斷了我要說的話。
「對了，蒂蒂知道『代數基本定理』吧？」
a
＝0k除以4得到的餘數爲0的時候
這時，教室的入口似乎有人在叫我。
ζ0;s1;＝Σ
>0;黎曼函數的定義式1;
「……我一輩子都不會忘記學長教過我的泰勒展開式！」
「嗯，大致上沒錯，『複數係數的n次方程式，會有n個複數解，但是重根同樣併入計算』。」
我打開揹包卻沒看到圖表用紙，是放在學校了嗎？
若以下無窮級數收斂則求其值，若非收斂則說明之。
然後她嘟着嘴問：「學長……我給人的印象很有活力嗎……我有點意外，還有『妹系角色』是什麼意思？從今以後我就叫你哥哥囉。」
不一樣的地方只有一個，就是k的指數。這次的問題9－2由於是1/k<平方>的和，所以k的指數是2；而調和級數是1/k<1次方>的和，所以k的指數是1。
「哇……黑板上這麼多算式，都是米爾迦學姐寫的嗎？」
sin＝＋/1－0;××1;/0;1×2×31;＋0;××××1;/0;1×2×3×4×51;－0;×××××××1;/0;1×2×3×4×5×6×71;＋……
「……總覺得好像我在學校上課聽講時，都會去注意比較細微的地方。而不瞭解整體概要，所以對於要學什麼及正在做什麼都感到一片混亂。不過學長的話正好相反，細微的地方……就好像之後再讓我自己補充一樣快速略過，但是對於爲什麼和正在做什麼這種大方向卻很明白。」
早上進到教室時，米爾迦突然就指着我問問題。
Σ
>調和級數
s<1>0;1;＝＋/1
「可以依照k除以4所得的餘數將數列a
分類。」我說。
Σ
>＝1.491388……＋1/7<平方>＝1.511797……
米爾迦是我的同班同學，她對數學相當拿手，早巳脫離了學校教授的範圍，她會讀自己喜歡的書，自己找出問題，然後解決問題，雖然我的數學並不算糟，但是跟米爾迦比起來還是差得很遠，不過我也不需要產生自卑感，只是我希望也能看見她所看到的世界。
Σ
>這次的問題9－2
因爲低年級學生來訪而興味津津的同學們，不由分說地將蒂蒂拉進教室裏，蒂蒂紅着臉將圖表用紙遞給我。
蒂蒂邊說邊抬起頭，看着我毅然說：
「學長……不好意思到教室打擾你，我是來將這個還給你的。」
Σ
>＝1.25＋1/3<平方>＝1.3611……
a
＝－1/k!k除以4得到的餘數爲3的時候
「所以……所以……雖然我很抱歉浪費學長的寶貴時間，不過我很喜歡聽學長說話，非常地喜歡。學長，我……」
問題9－2也以函數的形式書寫，由於指數是2，所以ζ0;21;是……
9．3．4函數的極限
「……具體地試寫看看，令n次方程式爲a
＋a
＋……＋a<1><1次方>＋a<0>＝0，n個解爲α<1>，α<2>，……，α
的話，左邊的n次多項式就能因式分解。」米爾迦邊說邊寫。
「好長啊。」
Σ
>＝1.423611……＋1/5<平方>＝1.463611……
夜晚。
「你知道『代數基本定理』吧？」
指數……指數啊，話說回來，米爾迦教過我關於ζ函數的事，我將函數的定義式再度寫在筆記本上。
……看來我們班的多話才女這次要對蒂蒂開始『上課』了。
米爾迦向蒂蒂以超快的速度說明『代數基本定理』、『因式定理』以及『n次方程式中解與係數的關係』。
「……令二次方程式a<平方>＋b＋c＝0的解爲α，β，a<平方>＋b＋c＝a0;－α1;0;－β1;就會成立。要看出方程式的解，與因式分解有直接的關係，解與係數的關係就像以下的式子。」米爾迦解說。
－b/a＝α＋β
＋c/a＝αβ
「同樣令三次方程式a<立方>＋b<平方>＋c＋d＝0的解爲爲α，β，γ……」
－b/a＝α＋β＋γ
＋c/a＝αβ＋βγ＋γα
－d/a＝αβγ
「然後廣義化，令n次方程式a
＋a
＋……＋a<1>＋……＝0的解爲α<1>，α<2>，……，α
的話……」
－a
/a
＝α<1>＋α<2>＋……＋α
＋a
/a
＝α<1>α<2>＋α<1>α<3>＋……＋α
α
－a
/a
＝α<1>α<2>α<3>＋α<1>α<2>α<4>＋……＋α
α
0;-11;
a
/a
＝0;α<1>，α<2>，……，α
中，k項互乘的總和。1;
0;-11;
a
/a
＝α<1>α<2>……α
「原來如此，這就是『n次方程式中解與係數的關係』吧。」
這時候鐘聲響起，就連活力少女也不禁說出「我的腦袋好像被算式淹沒了……」這句話，接着搖搖晃晃地走回一年級的教室。
「很可愛的女孩呢，哥哥。」
說話的米爾迦撥了一下瀏海，並用中指推了推眼鏡，長髮從之間滑落並露出她的耳朵，手跟手指則在空間中劃出優美的曲線，我的視然仍然停在她劃出那曲線的瞬間。
說到曲線，我也喜歡她的臉型，還有她的嘴脣與所發出的聲音，那是會讓人想一直聽下去、有着豐富聲響的聲音，以樂器來比喻的話，就像……
「……怎麼了，蒂蒂？」
「這個方程式的解如下所示……先假定是這樣。」米爾迦繼續說。
「將sin……『因式分解』？這是什麼意思？」
sinnnπ＝0n＝0，±1，±2，……
「咦？」
「可以。」
「那個啊，昨天不是有做sin的泰勒展開式嗎，我回家思考之後，又有發現了，sin隨着的變化會一直變成0喔，譬如……」
果然。
「我試着將sin因式分解。」
「啊！」
不等我回話，蒂蒂繼續說：
「然後蒂德菈思考的是下面這個方程式。」
我和蒂蒂互相對看，然後看回米爾迦寫的因式分解式子，蒂蒂馬上打開抱在胸前門筆記本開始計算。
「喔……話說回來，貝塞爾問題……對吧，這個ζ0;21;是發散嗎？」
「貝塞爾問題？你記得……答案？」
蒂蒂面對沉默的我接着往下說：
「啊，不，沒什麼大不了的……」蒂蒂觀察我的臉色小心地說。
9．6．1蒂蒂的嘗試
對蒂蒂的下一句話，感到無比震驚。
「嗯，這個……確實會成立，當＝0的時候，全部都會變成0，而且當＝nπ的時候，因爲有0;1－/nπ1;這個因式存在——正題也會變成0，所以當＝0，±π，±2π，……的時候，會使得sin＝0了。」
sin＝sin＝＋0;<1次方>/1!1;－0;<立方>/3!1;＋0;<5次方>/5!1;－0;<7次方>/7!1;＋……sin的泰勒展開式
「ζ吧。」聲音的主人說。
我……
sin＝0
慌張的蒂蒂把筆記本和鉛筆盒都摔到桌下，筆、橡皮擦和尺的掉落聲零落響起。
一如往常的圖書室、一如往常的放學後，我正想開始今天的計算時，活力少女蒂蒂蹦蹦跳跳地跑了過來。
「不，蒂蒂，這樣很奇怪，因爲sin有個很有名的極限式子。」
就可以如上因式分解。」
「學長，那個……貝塞爾問題是什麼啊？」蒂蒂邊撿起筆邊問。
Σ
>
「對、對不起！」蒂蒂像是用搶的一樣拿回筆記本。
「在這裏令≠0，將兩邊同除以，會得到下式。這是將以『和』表示。」
lim<→0,0;sin1;/>＝1
「那只是靠單純的記憶力而已，難得從老師那裏拿到卡片，我想思考別的問題，我想將設爲z，拓展到複數的範圍試試看。」
「等一下，這麼難的問題只靠我們能解開嗎？」
我聽了她的話之後也開口說：
「不是的，米爾迦，蒂蒂不是在思考貝塞爾問題，是類似sin的『因式分解』。」
「是啊，貝塞爾問題就是求ζ0;21;的問題……我說出答案之後，老師露出苦笑，說不是真的要答案，而是要我從這個式子中找出有趣的問題，他這樣告訴我。」米爾迦聳聳肩。
「……看來我好像一個人高興過頭了。對不起，在你忙的時候還打擾你……」
對於米爾迦突然提高語尾聲調的獨特問法，蒂蒂點了點頭，她仍然將剛從米爾迦手中拿回來的筆記本抱在胸前，那本寫着『一輩子都不會忘記！』的筆記本，以及抱着泰勒展開式的蒂蒂。
「你想知道嗎？」米爾迦喫驚地看着我，她的眼鏡在一瞬間發出光芒。
若以下無窮級數收斂則求其值，若非收斂則說明之。
「哇！」
什麼？
「上次說村木老師的問題是ζ，我應該說過了。」米爾迦把卡給我看。
「那就從sin的泰勒展開式開始吧。」
※※0;米爾迦的卡片1;
0;sin1;/＝1－0;<平方>/3!1;＋0;<4次方>/5!1;－0;<6次方>/7!1;＋……令≠0，將兩邊同除以
「喔……」
「那關於昨天的話題，你想到什麼呢？」
「不是不是，我說錯了，剛纔是我的失言，我還在想，所以先不要告訴我。」我慌忙回答。
「就像剛纔學長說的一樣，當解是＝0，±π，土2π，±3π，……的時候……
「學長，大發現大發現。」
像這樣，當n＝1，2，3，……的時候，sinnπ＝0。」
「雖然在十八世紀初時是個難題，不過現在我們已經有了許多的武器，每天都持續鍛鍊着的武器。」
啊？
「蒂蒂，你忘了考慮n在0以下的情況，假如要廣義化的話，要這樣寫……」
說着話的蒂蒂拿出自己的筆記本攤開給我看。
9．6圖書室
sin＝0;＋π1;0;－π1;0;＋2π1;0;－2π1;0;＋3π1;0;－3π1;……
確實是這樣沒錯……不過要將sin『因式分解』？我仔細思量話裏的意義。
＝nπ0;n＝0，±1，±2，±3，……1;
接着我在卡片的最後寫上了「貝塞爾問題」。
※※問題9－2
「你啊……」米爾迦的視線沒有離開筆記本，她對我說：「……你教蒂德菈sin的泰勒展開式了嗎？……嗯，原來如此，這也是村木老師的作戰啊……不過，這邊寫着『一輩子都不會忘記！』是……？」
ζ0;21;
「已經解開了嗎，米爾迦？」
「是啊。」雖然這樣回答，不過我有點煩了，這不是理所當然的嗎？而且……
「啊，那個……」雖然蒂蒂想把筆記本拿回來，不過卻被米爾迦的眼神壓住而縮回了手。
她一說完話就拿走我的筆和筆記本，開始寫上算式。
sinπ＝0，sin2π＝0，sin3π＝0，……，sinnnπ＝0，……
我在蒂蒂的筆記本上寫下。
「要說解開……應該說我記得貝塞爾問題的解答，所以在拿到卡片的時候就回答了。」
「用這個解來對sin做『因式分解』是蒂德菈的想法吧？。」
「蒂蒂也在思考貝塞爾問題嗎？」
[插圖：y＝sin]
「嗯……」米爾迦閉上了眼睛，像是指揮一樣擺動起手指，當她變成這種狀態的時候，周圍的人都會保持沉默、安靜地注視她，米爾迦在思考的時候，有一股吸引我們的魅力。
我還沒弄懂，咦？可以這樣嗎……？確實代入＝nπ，的話會會變成0沒錯……
然後……
sin＝0;1＋/π1;0;1－/π1;0;1＋/2π1;0;1－/2π1;0;1＋/3π1;0;1－/3π1;……
「－0的時候，這個式子左邊的極限值雖然會是1，但是我不認爲右邊的極限值會是1，所以很明顯是哪裏出了問題。」
「而且，將0;sin1;/像下面的式子表示，當→0的時候，也會讓0;sin1;/→1。」
米爾迦認真地說。
最近都一直陪蒂蒂，因此開始思考自己應該也要開始計算了。
蒂蒂聽了我的說明後，表現出一副訝異的神色，這也是當然的，畢竟聽到到自己完全沒有思考過的問題。
0;sin1;/＝0;＋π1;0;－π1;0;＋2π1;0;－2π1;0;＋3π1;0;－3π1;……0;？1;
「不過米爾迦你還記着答案吧？」
跟之前一樣，調和數的時候，米爾迦是拿ζ的卡片，所以我想這次也應該相同，村木老師會將同樣的問題以兩種不同的形式……嗯？不過蒂蒂的卡片就不是了。
「今天米爾迦學姐不是說了嗎？『要看出方程式的解與因式分解直接的關係』。」
這時候米爾迦撿起蒂蒂掉在桌下的筆記本，然後開始翻閱。
「也就是→0的時候，應該會令0;sin1;/→1纔對，在非常接近0的時候，就會非常接近1，不過蒂蒂的式子中，令≠0將兩邊同瞬的話，就會變成下列算式。」
「不過，過程並不順利，當→0的時候0;sin1;/的極限雖然會變成1，但是我的因式分解卻不行……」蒂蒂插嘴說道。
「還有0也是，把這個和軸交點的圖形畫出來，不是馬上就解決了？」
「那樣的話……」米爾迦臉上浮現不懷好意的表情說：「那樣的話，將sin像這樣『因式分解』呢？」
「呃，就是……因爲我找到很多滿足sin＝0的。所以想將……
「嗯……這問題這麼有名嗎？」
「哎呀，沒、沒錯，的確也有負數。」
突然從背後傳來的聲音把我們都嚇了一跳，我們完全沒有發現米爾迦就站在後面。
「貝塞爾問題可是將十八世紀初的數學家全部打倒的超難問題，在尤拉老師登場之前，沒有任何人能提出正確解答，尤拉老師就是因爲解開了貝塞爾問題而一舉成名。」
sin＝0
米爾迦睜開眼睛。
……打算解開這個方程式喔！」
我嚴峻的口氣讓蒂蒂有點沮喪，她不只是在高興的時候，連喪氣的時候也都表現得很直接，我不好意思地連忙改口：
我讓蒂蒂看卡片，並對她說明貝塞爾問題是求正整數平方倒數和的問題，在我的卡片裏是以Σ
>的值，在米爾迦的卡片裏是以ζ0;21;表現的問題，當然求值是指『收斂』的情況下。
9．6．2何去何從
0;sin1;/＝0;1＋/π1;0;1－/π1;0;1＋/2π1;0;1－/2π1;0;1＋/3π1;0;1－/3π1;……
「蒂德菈……」這是米爾迦溫柔卻又充滿力道的聲音。
「蒂德菈，試着將她剛纔寫的0;sin1;/右邊算式再簡化看看。」
蒂蒂發出了「嗯」的聲音之後就開始思考。
「簡化……啊，真的可以，因爲『兩數和與差的積等於兩數平方的差』，所以0;1＋/π1;0;1－/π1;＝1<平方>－<平方>/π<平方>，接着可以……」蒂蒂瞄了我一眼繼續寫下。
0;sin1;/＝0;1－<平方>/π<平方>1;0;1－<平方>/2<平方>π<平方>1;0;1－<平方>/3<平方>π<平方>1;……
能進行到哪呢？我如此想着。米爾迦那知道結果的話語不曉得爲何讓我無法冷靜。米爾迦知道什麼？又到了什麼地步？爲什麼要討論貝塞爾問題？村木老師的作戰又是什麼？全都是我不瞭解的事』不過我有預感會出現了不起的結果。
米爾迦對着思考中的我說：「現在蒂德菈將用『積』表現，因爲因式分解就是將算式用積表現，另外，你所寫的泰勒展開式也是同樣吧用『和』表現，所以……」
米爾迦在這裏停了下來，喘了口氣之後繼續說：「在這裏將蒂德菈的『積』與你的『和』視爲相等吧。」
0;sin1;/積的形式＝0;sin1;/和的形式
0;1－<平方>/π<平方>1;0;1－<平方>/2<平方>π<平方>1;0;1－<平方>/3<平方>π<平方>1;……＝1－0;<平方>/3!1;＋0;<4次方>/5!1;－0;<6次方>/7!1;＋……
寫到這裏的米爾迦彷彿偷看般將臉靠近在旁看着算式的蒂蒂，同時說出：「蒂德菈，你差不多也該發現了吧。」
蒂蒂漲紅臉、縮起身體回答：「要、要發現什麼啊……？」
米爾迦在原地對我們張開雙手，用細微的聲音說：「比較看看<平方>的係數。」
我看着算式。
比較係數？
我瞬間計算。
比較係數！
我屏住呼吸。
難道……
「什、什麼事啊？」蒂蒂用一雙大眼睛緊張地望着。
實際上，這些級數和對π
的比一直是有理數。
「解開問題的人是我們的老師——萊昂哈德×尤拉。他是世界上第一個解開貝塞爾問題的人，就在公元一七三五年，尤拉老師二十八歲時，也是他結婚的第二年……」米爾迦詳細地描述。
「解開了，真的解開了！解開貝塞爾問題了！」
我看向米爾迦。
「將這個從左邊開始依序展開。」
「將式子整理之後，就變成這樣。」
……還是一臉困惑的表情，她似乎還沒發現。
※※解答9－20;貝塞爾問題1;
↓↓
「我在證明到一半的時候就已經搞不懂了，不過還是覺得非常驚訝。」蒂蒂接下去說：「我對不知不覺就解開貝塞爾問題非常驚訝，原本我只是認爲既然＝nπ是sin＝0的解，說不定可以將sin因分」，我覺得這是個很大的發現，不過也只能到這裏爲止，可是米爾迦學姐卻找到其它的因式分解法，並且一下子就用比較<平方>係數的方法把貝塞爾問題解開了。」
可以用廣義的型態明白地展現，
一如往常的放學後。
「其實這就是今天早上說明的解與係數的關係，知道<平方>係數的規則性了嗎？」米爾迦說。
0;1－<平方>/π<平方>1;0;1－<平方>/2<平方>π<平方>1;0;1－<平方>/3<平方>π<平方>1;……
「……說到這個，爲什麼蒂蒂的『因式分解』會行不通呢？」我提出疑問：「明明＝nπ0;n＝±1，±2，……1;就是sin/＝0的解。」
ζ0;21;＝π<平方>/6
－1/0;1<平方>π<平方>1;－1/0;2<平方>π<平方>1;－1/0;3<平方>π<平方>1;－1/0;4<平方>π<平方>1;－……＝－1/3!
蒂蒂依然陷入混亂之中。
「我拿來了。」米爾迦邊說邊走進圖書室，她似乎是拿到了村木老師的問題。
現在……爲我們的活力少女蒂蒂拍手！0;無名之聲：很好！一道題化解了後宮的恩怨。1;
厲害……這真是太厲害了。
「爲、爲什麼！什、什麼時候！太、太奇怪了！」
「我們解開了這個問題嗎？」蒂蒂問。
↓
「還沒發現嗎？蒂德菈。」
「嗯～～原來如此，米爾迦，lim<→0,sin/>＝1的條件無法只靠這個『因式分解』表現啊。」
「nπ確實是sin/＝0的解沒錯，但是這個『因式分解』太冗長、也太自由了。畢竟只有＝nπ是解這個條件的話，直接乘以C倍也是分解法之一，沒有唯一性。」
↓
米爾迦淡淡地說下去。
米爾迦開始拍手，我也站起來對蒂蒂拍手，這是隻有兩個人的起立喝采。
所有無窮級數的和，
「沒錯，假如是n次多項式的話，就可以配合n次的係數調整，一般來說，最高次方項的係數都是固定的，所以可以配合調整，但無窮項式因爲不知道的係數是多少，所以沒辦法配合最高次方項的係數，這次成功的關鍵在於有0;－nπ1;用來配合係數，可以由因式0;1－/0;nπ1;1;的積組合出lim<→0,sin/>＝1，在邁向無限之前的整合發揮了效果。」
「喔……好像有什麼規則在裏面呢。」蒂德菈邊看米爾迦展開算式邊。
0;1＋a<平方>1;0;1＋b<平方>1;0;1＋c<平方>1;0;1＋d<平方>1;……
我和蒂蒂望向放在桌上的紙張。
ζ0;21;＝Σ
>＝π<平方>/6
「因爲有一堆π，看起來很難懂，所以把……
米爾迦將式子重新改寫。
告白的答案在銀河的終點
從剛纔開始米爾迦就只和蒂蒂說話，展開式子的速度也比平常緩慢，或許是顧慮到要讓她容易理解。
0;1－<平方>/π<平方>1;0;1－<平方>/2<平方>π<平方>1;0;1－<平方>/3<平方>π<平方>1;……＝1－0;<平方>/3!1;＋0;<4次方>/5!1;－0;<6次方>/7!1;＋……
sin的泰勒展開式sin的因式分解
9．6．3向無限的挑戰
米爾迦則是往蒂蒂看去。
這裏是圖書室，高中生的我們需要安靜。
而蒂蒂……
就像1＋1/2
＋1/3
……一樣，
「雖然不是理解得很清楚，不過能想出『用方程式的解將sin因式分解』真的是非常了不起，雖然其中還有不太嚴謹的部分，不過也有對無限挑戰的決心。」
「當然也可以這樣寫。」她接着寫上另外一種算式。
「好，我懂了，<平方>的係數會變成a＋b＋c＋d＋……吧。」
sin/＝0;＋π1;0;－π1;0;＋2π1;0;－2π1;0;＋3π1;0;－3π1;……
蒂蒂確認過米爾迦的等式之後說：「要將<平方>的係數抽出來吧……好，我懂了。」
－1/0;1<平方>1;＋1/0;2<平方>1;＋1/0;3<平方>1;＋1/0;4<平方>1;＋……＝π<平方>/6
＝0;1＋0;a＋b1;<平方>＋ab<4次方>1;0;1＋c<平方>1;0;1＋d<平方>1;……0;展開，注意現在的前兩個因式1;
Σ
>＝π<平方>/6
蒂蒂大聲叫了出來，雖然這裏是圖書室，不過我能理解她想要大喊的心情。
－1/0;1<平方>π<平方>1;＋1/0;2<平方>π<平方>1;＋1/0;3<平方>π<平方>1;＋1/0;4<平方>π<平方>1;＋……＝1/6
「在左邊展開時，『<平方>的係數』是右邊各因式的『<平方>係數和』，也就是a＋b＋c＋d＋……會變成－1/0;1<平方>π<平方>1;－1/0;2<平方>π<平方>1;－1/0;3<平方>π<平方>1;－1/0;4<平方>π<平方>1;－……，另一方面，右邊的『<平方>係數』則很簡單易懂，考慮到目前爲止的算式，將兩邊的<平方>係數做比較，下面的等式就會成立。」
而米爾迦解答了我的疑問。
我們陷入沉默，因爲我們對身爲無理數的圓周率π怎麼會突然出現而感到不可思議。
——尤拉[25]
「沒錯，在這個無限積中各個因式裏的<平方>係數0;a，b，c，d，……1;的無無限和0;a＋b＋c＋d＋……1;，會成爲展開後的<平方>係數，然後回到剛纔『因式分解』的算式。」米爾迦繼續說明。
0;sin1;/積的形式＝0;sin1;/和的形式
「在對我們的老師——尤拉老師表示敬意的同時，我們也要爲蒂德菈拍手。」
「咦？怎麼了嗎？咦、咦？」
「這個……這個我知道，是無限的積吧……」
「啊、啊啊啊啊啊啊！」
米爾迦將右手放到仍然坐着的蒂蒂頭上。
但是這些都已經不重要了。
「將兩邊乘以π<平方>……」
假設有面額爲1元、2元、3元、4元……的硬幣，倘若必須支付n元，其組合方式有幾種？令組合的個數爲P
0;這種支付方法稱爲n的分拆，分拆的個數P
稱爲n的分拆數1;。
「蒂德菈，實際展開看看，現在把這個式子展開。」
第10章分拆數
↓↓
「解開了，貝塞爾問題已經解開了，困擾着十八世紀數學家的難題——貝塞爾問題已經獲得解答了，而且還是用讓人愉快的解法。」
「米爾迦學姐……學長……不用這樣……」
sin/＝C×0;＋π1;0;－π1;0;＋2π1;0;－2π1;0;＋3π1;0;－3π1;……
「好的，這樣就告一段落了。」米爾迦歪着頭豎起食指露出笑容，這是她最美的笑容。
10．1．1分拆數
※※貝塞爾問題的解法
0;從木村老師那裏得到的卡片1;
0;1＋a<平方>1;0;1＋b<平方>1;0;1＋c<平方>1;0;1＋d<平方>1;……0;注意前兩個因式1;
米爾迦對蒂德菈露出笑容，彷彿在說不用那麼慌張也沒關係，她面對筆記本繼續向蒂蒂說明：
「雖然這次做最後整理的是我，不過那是因爲我已經知道尤拉老師解法的關係……」
「但是嚴格來說，剛纔的證明仍然不完全。我們爲了找出sin＝0的解，而取出圖形與軸的交點＝nπ，但是虛數解並不會出現在與軸的交點上，所以我們並沒有討論到虛數解的可能性，其實尤拉老師除此之外還留有數種證明方式，不過用sin的冪級數展開來證明的手法是既漂亮又有魅力的，如同藉由比較<平方>的係數求出ζ0;21;比較<正偶數次方>的係數也可以求出ζ0;正偶數1;。」
＝0;1＋0;a＋b＋c1;<平方>＋0;ab＋ac＋bc1;<4次方>＋abc<6次方>1;0;1＋c<平方>1;0;1＋d<平方>1;
「左邊的<平方>係數是什麼，蒂德菈知道嗎？」米爾迦問她。
「然後，還有一點……」蒂蒂繼續說：「我對Σ
>的和是π<平方>/6很震驚，爲什麼整數的倒數平方和會跑出π呢？」
米爾迦邊說邊站起身。
米爾迦用手推了推眼鏡繼續說：
——小松美和[8]
米爾迦點點頭，並以吟詠般的語氣說：
10．1圖書室
我們是否超越了兩世紀半的時間，重新體會尤拉的解法呢？當時的尤拉與我們不過只差十歲……而且還是結婚的第二年？
a＝－－<平方>/1<平方>π<平方>，b＝－0;1－<平方>/2<平方>π<平方>1;，c＝－0;1－<平方>/3<平方>π<平方>1;，d＝－0;1－<平方>/4<平方>π<平方>1;，……
蒂蒂看向米爾迦，然後再看向我。
sin/和的形式→比較<平方>的係數←sin/積的形式
這樣定義，算式就會變成下面寫的無限積。」
當n爲偶數時，可以藉由圓周率π的幫忙表示。
蒂蒂將兩手捧住羞紅的臉頰，大眼睛不斷眨着。
「是的，尤拉老師留下好幾個解開貝塞爾問題的方法，而我們再現了其中一種解法。」
Σ
>＝π<平方>/6
米爾迦與我的卡片
蒂蒂的卡片sin＝0的解
舉例來說，支付3元的方法有「3元硬幣1枚」、「2元硬幣一枚與1元硬幣1枚」、以及「1元硬幣3枚」這3種方式，故P<3>＝3。
問題10－1
求P<9>。
問題10－2
P<15>＜1000是否成立？
「只是算支付的方法，應該很簡單吧。」高中一年級的學妹——活力少女蒂蒂說。
「是嗎？」我說。
「咦？所謂P<9>就是支付9元的狀況吧，依照『使用1元硬幣的狀況』、『使用2元硬幣的狀況』……的順序思考就可以了吧？」
「蒂蒂，並沒有那麼簡單，因爲可以使用同樣的面額，所以即使是使用1元的狀況，也要考慮到『使用了幾枚』。」
「學長我不會一直都是不小心忘了條件的蒂德菈喔，關於枚數我很清楚，只要冷靜地慢慢往上數就沒問題了。」蒂蒂似乎充滿自信。
「是嗎？一直往上數的話會失敗喔，我想用廣義的解法會比較安全，而且問題10－1的P<9>先不提，問題10－2的P<15>，應該會變成『非常大的數』。」
「真的嗎，學長？『非常大的數』是多大？只是支付15元的吧？」
「蒂蒂，雖然只有15元，但是組合起來的話立刻就會爆發……」
碰。
一直沒有說話的米爾迦用手拍了桌子，她想仿真爆發的音效嗎？
我們愕然地停下對話。
「蒂德菈到那個角落，你去窗邊的位置，而我在這裏，大家都不要小說話、安靜地思考。」
米爾迦一聲令下，蒂蒂和我都點頭同意。
「知道了還不快點行動。」
……我們就在放學後的圖書室裏在無聲地開始用功。
＝3＋1＋1
終於到n＝9了。
＝6＋1
＝5＋1
面額依正整數0;1，2，3，4，……1;變化的硬幣，用這些硬幣來支付n元，這是求支付的方法數——分拆數——的問題。
＝2＋1
＝2＋1＋1＋1
當n＝1的時候……只有「使用1個1元」一種方法，所以P<1>＝1。
嗯，P<2>，P<3>，P<4>，P<5>，P<6>＝2，3，5，7，11，是和質數有關的規律嗎？
＝6＋2
＝4＋2＋1
＝1＋1＋1＋1＋1＋1＋1＋1
＝6＋1＋1＋1
n＝4的話，如下有5種，一共5個分拆，嗯，我已經抓到訣竅了
當n＝3的時候……有「使用1個3元」與「使用1個2元、1個1元」與「使用3個1元」3種方法。
＝3＋2＋2
＝2＋2＋1＋1
5＝5
P<6>＝11支付6元的方法有11種
＝5＋4
＝2＋2＋2＋1＋1
10．1．2思考實例
＝1＋1＋1＋1＋1＋1
＝5＋1＋1
＝5＋3
＝3＋2
＝2＋1＋1＋1＋1＋1
＝2＋2＋2＋1
＝5＋1＋1＋1
P<4>＝5支付4元的方法有5種
＝3＋3＋1＋1
＝2＋2＋1＋1＋1＋1
＝1＋1＋1＋1＋1＋1＋1
唔，所謂的P<3>雖然是「支付3元的方法數」，不過也可以說成「將3分拆成數個正整數的方法數」，所以才被命名爲「分拆數」吧。
3＝3
＝5＋3＋1
＝5＋2＋1
由於再這樣寫下去太麻煩，所以「使用1個2元、1個1元」這種方法，就用2＋1表現，也就是這種寫法。
＝3＋2＋1
＝7＋2
4＝4
＝1＋1＋1＋1
＝7＋1
7＝7
和從前一樣，我先從小的數進行具體的思考，用實例來抓到感覺是很重要的。
＝3＋1＋1＋1＋1＋1
當n＝0的時候，也就是支付金額爲0的狀況……只有「不支付」一種方法，方法數爲1，也可以說P<0>＝1。
＝2＋1＋1＋1＋1＋1＋1
＝4＋2＋1＋1
＝2＋2＋2
＝3＋1
＝3＋2＋1＋1
＝4＋1
像這樣讓n逐漸變大時，就能稍微發現一些規則，數字倘若不夠大，要找出規則性就不容易，以前米爾迦說過「少量的樣本不容易發現規則」，但是數字增加得太大，具體舉例就會變得困難。
等同於P<3>＝3。
P<7>會是13嗎？
6＝6
＝1＋1＋1＋1＋1
n＝5的話……有以下7種。
＝3＋1＋1＋1＋1
＝3＋3＋1
9＝9
＝2＋2
＝2＋1＋1
＝3＋3＋2
P<0>＝1支付0元的方法有1種
當n＝2的時候……有「使用1個2元」與「使用2個1元」的方法，所以P<2>＝2。
繼續下去吧，令n＝6，有以下11種表現方法。
＝4＋1＋1＋1＋1
＝2＋2＋2＋2
P<5>＝7支付5元的方法有7種
＝5＋2＋1＋1
P<2>＝2支付2元的方法有2種
＝8＋1
8＝8
＝3＋3
＝3＋2＋2＋1
＝2＋2＋1＋1＋1
＝2＋1＋1＋1＋1
＝6＋2＋1
而且也開始快速增加了，這樣下去，當n＝8與n＝9的時候沒問題嗎？會不會算錯啊，不，與其擔心這個，不如繼續嘗試。
＝5＋2＋2
＝1＋1＋1
＝2＋2＋1
＝4＋3＋1
P<7>有15種，可惜不是質數。
P<3>＝3支付3元的方法有3種
P<1>＝1支付1元的方法有1種
＝4＋1＋1＋1
＝4＋2＋2
P<7>＝15支付7元的方法有15種
＝7＋1＋1
＝4＋1＋1
＝6＋3
＝5＋2
2＋10;2元用1枚，1元用一枚1;
＝4＋2
＝6＋1＋1
當n＝3時有以下的3種方法。
P<8>＝22支付8元的方法有22種
＝3＋2＋1＋1＋1
＝4＋3
＝3＋1＋1＋1
＝4＋4
n＝8的狀況。
＝5＋1＋1＋1＋1
＝4＋4＋1
＝4＋3＋2
＝4＋3＋1＋1
＝4＋2＋2＋1
＝4＋2＋1＋1＋1
＝4＋1＋1＋1＋1＋1
＝3＋3＋3
＝3＋3＋2＋1
＝3＋3＋1＋1＋1
＝3＋2＋2＋2
＝3＋2＋2＋1＋1
＝3＋2＋1＋1＋1＋1
＝3＋1＋1＋1＋1＋1＋1
＝2＋2＋2＋2＋1
＝2＋2＋2＋1＋1＋1
＝2＋2＋1＋1＋1＋1＋1
＝2＋1＋1＋1＋1＋1＋1＋1
＝1＋1＋1＋1＋1＋1＋1＋1＋1
P<9>＝30支付9元的方法有30種
「斐波那契手勢。不過蒂德菈，5以後要怎麼辦？用兩手來做出3＋5＝8嗎？假如斐波那契手勢繼續下去的話，全世界的人的手都不夠用唷。」米爾迦說。
10．4自家
①×3＋②×3①×5＋②×2①×7＋②
10．2．2分組
那10－2該怎麼辦呢？就算硬數P<15>想必也是『非常大的數』，還是應該求P
的一般項吧。
「那是什麼？」
米爾迦笑着伸出手。
總之先到這裏……已經知道問題10－1的答案是P<9>＝30了，不過還不知道問題10－2的答案。
①×5＋④③×3①＋②＋③×2
她的兩隻手在臉前晃來晃去，這不是斐波那契手勢。
「啊，就跟你看到的一樣，像這個①×3，就是支付1元硬幣3個的意思。」
她……希望擴大和我一起分享的領域。
所謂生成函數，就是使用的乘冪將數列全部的項結合到一個函數中，在此之前，我和米爾迦曾經使用生成函數求出斐波那契數列與卡塔蘭數的一般項，這次的P
是否也能用生成函數來找出一般項呢？只要能找出一般項P
的『對n的閉公式』，就能迅速解開問題10－2了。
「那來試試看吧。」
10．2．1斐波那契手勢
「唉呀，我明明確認了好幾次……好痛！」蒂蒂的頭撞到廣告牌，我剛剛不是才提醒過……
③＋⑥①＋②＋⑥①×3＋⑥
「啊、啊～～學長，不要忽視我啊～～」
①×2＋③＋④①＋②×2＋④①×3＋②＋④
將目前爲止知道的P
做整理。
「停～～」蒂蒂向我伸出右手、伸出她的五根手指。「謝、謝謝，我非常高興。但是我似乎說得太超過了，所以到此爲止。」
嗯，這樣村木老師的問題10－1就解決了，付9元的方法有30種，9的分拆數是30。
①×2＋②＋⑤①×4＋⑤①＋④×2
咦……29種？不是30種嗎？
蒂蒂低下頭緩緩道出：
「……咦？連米爾迦也在做手勢，你到底在做什麼啊？」我有點無力地發問。
10．3『Beans』
「啊～～米爾迦學姐走了……我還在想可以用斐波那契手勢向她的……」蒂蒂嘟起嘴，不斷地動起指頭。
……這麼說起來，我好像有發表這種論題。
「然後看到斐波那契手勢的時候就要比出猜拳的布來響應。因爲1，1，2，3的下一個是5，用手指比出斐波那契數列，這就是斐波那勢。」
嗯……我能懂你的心情，我看着米爾迦時也是一樣的感覺。
蜿蜒的道路盤旋在空間之中。
在蒂蒂提議要不要去喝杯咖啡後，我們就來到了車站前的『Beans』，她今天坐在我對面的位置上。
蒂德菈露出一副得意的樣子。
「斐波那契手勢。」
n0123456789……
「……學長國中三年級的時候，也就是我國中二年級時，學長在校慶的時候有發表過論題吧，是關於二進制的論題。在發表的最後，學長說了『數學是超越時間的』，歷史上有許多數學家研究過二進制，於是纔有現代計算機的誕生，而『數學是超越時間的』這句詞組也留在我的心裏，舉例來說，在十七世紀研究二進制的萊布尼茲並不曉得二十一世紀有電腦的事，雖然他已經去世了，但是數學卻超越了時間活着，並傳達給現代的人……我從學長的話裏感受到這件事情，啊，沒錯，我真心地認爲覺得數學是可以超越時間的。」
我們三個人走在往車站的路上。
「蒂蒂，看前面看前面，要小心前面的電線杆。」
家人都睡了，我在房間裏算着數學，這是我最幸福的時刻。
蒂蒂將手伸到我的鼻子前面，連續擺動了四次。
蒂蒂又再重新比了一次，手指數的確是1，1，2，3逐漸增加……然
「咦？」蒂蒂的臉越來越紅，「我剛纔說出口了嗎？啊，剛纔的不算！不對，也不是不算！啊～～真是的。」
①×4＋②＋③①×6＋③①＋②×４
「現在是閉校時間。」
我開口說：
瑞谷老師出現了！已經這麼晚了啊。
啊，原來如此，每次在回家的路上，蒂蒂會慢慢走的理由……
「當我……知道能和學長進同一個高中的時候，真的很高興，能下定決心寫信給學長真是太好了，我非常喜歡你叫我『蒂蒂』，當你說出『蒂蒂好厲害』的時候，我真的覺得好像做什麼都會成功，而且學長也帶我去了天文臺……能跟學長還有米爾迦學姐一起討論數學，讓我非常快樂。」
①×8②＋⑦①×2＋⑦
「知道了嗎？」
車站到了。
我看向米爾迦，她的手指也在跟着比劃。
「……五。」
「……？」
①×3＋③×2②×3＋③①×2＋②×2＋③
活力少女今天也是精神飽滿。
……真讓人覺得不好意思，我們又不是小學生。
「……啊，是喔。米爾迦，關於剛纔的P<9>……」
「那我就先走了，明天見。」米爾迦輕輕地敲了一下蒂蒂的頭身離開，她的路線和我們剛好相反。
「沒有②＋③＋④。」米爾迦越過我的肩膀看着筆記本點出問題，她的長髮碰到我，同時傳來淡淡的果香。
自家。
「……知道什麼？」
「要仔細看手指比的數字，是1，1，2，3這樣子增加唷。」
「不過……我也有垂頭喪氣的時候，雖然能和學長互相討論，但是自己一個人卻什麼都做不到，像今天我就失敗了。」
瑞谷老師是會定時出現的管理員老師，她會帶着無法判斷視線方向的深色眼鏡，像機器人一樣走到圖書館的中央宣佈時間到了。
P<9>＝30
「好～～謝謝。」
……這麼說起來，我們是有去過天文臺沒錯。
「嗯，無論什麼時候都有。我喜歡和蒂蒂說話，我很佩服你的率直和理解能力，就像以前在『學倉』答應的一樣，我任何時候都可以教你數學。嗯，與你的約定並沒有改變……而且我也是隻有自己一個人就什麼都做不到，國中的時候在圖書間計算雖然有趣，但是我現在更快樂，因爲有能和我自由討論數學的人……在我的心裏，屬於蒂蒂的位置一直都在，對我來說，你是我很重要的朋友。」（JoyJ：於是是朋友啊……）
不過蒂蒂仍然豎起三根手指並用大大的眼睛凝視我，真是拿她沒辦法，我只好伸出手回應。
將這個數列的生成函數設爲P0;1;×P0;1;的定義如下，這同時是生成函數的的定義。
10．2回去的路上
電子鐘上顯示着23點59分，23和59都是質數。（JoyJ：……）
「咦？」
蒂蒂轉頭說：「我已經完成問題10－1了，現在正在算問題10－2，實際寫P<15>的時候才知道『非常大的數』是什麼意思，個數突然膨脹起來了，雖然寫到了50種，仍然沒有結束，但是我想絕對不會超過1000種。」
「我的位置……學長的心裏有我的位置嗎？對學長而言，我可能只是一個蹦蹦跳跳的學妹而已，在學長的心裏是否有我的位置呢？就算只是偶爾願意教教我數學也可以……」
這時候米爾迦舉起右手，將五根手指在空中揮舞，她沒有放慢速度，也沒有回頭。
④＋⑤①＋③＋⑤①×2＋⑤
……繼續演算村木老師的問題吧，思考分拆數P
，來挑戰是否能用生成函數解出P<15><1000成立與否的問題10－2。
她嘆了一口氣。
P
11235711152230……
「也難怪學長不知道，因爲這是我想出來的手勢。」
「不，到5就停了。那就一起來比吧，我比出1，1，2，3的話，就要回應5喔……一、一、二、三……來～～」
她抬起頭露出不好意思的笑容。
「我也希望數學能變得更好一點，雖然沒有忘記條件很重要，不過只有這樣還是不行，真辛苦，想單純用手算出P<15>，可是P<15>看起來是個『非常大的數』……」
「這個就是代表『我非常喜歡數學！』的意思，是愛好數學的人打招呼的方式，無論是在見面或道別時都可以使用喔。因爲是手勢，所以即使語言不通，或是隔了一些距離的時候也可以傳達給對方知道。很厲害害吧。」
※※解答10－1
「喔，原來如此，寫法還真多。」
唔……我真的沒注意到，我一直以爲這個沒人會來的圖書間只有我一個人。
蒂蒂將牛奶加入咖啡後就只是在發呆，也忘了用湯匙攪拌，她似乎和平常有點不太一樣，接着還說出像是自言自語的話。
家人對於我在挑戰什麼樣的算式沒有興趣，就算完成有趣的算式變化、很高興地和他們說明，也只會得到一句「好厲害」而已。
「問題10－1是手的運動，問題10－2就是腦的運動了。」米爾迦說。
朋友是很珍貴的，米爾迦與蒂蒂可以和我一起面對問題、一起解決、一起檢討，窮盡知識與其對戰、研討解法，談話之中有着名爲的共通語言……我喜歡這樣的時間，這和國中時在圖書間度過的時不同，那時候只有我一個人在計算……不對不對，在那個時候的那個地方，蒂蒂或許也在吧……
①×⑨⑨
蒂蒂擺出一副像是要猜拳的動作。
我們走到了大馬路旁，因爲護欄讓道路變得狹小，所以我們按照蒂蒂、我、米爾迦的順序排成一列前進，蒂蒂不斷地轉頭說話似乎有點危險，而我對於米爾迦站在我的身後，總覺得不太自在。
過了一會兒……
「你在做什麼？」我問。
在這個高中生活中有限的時空裏。
在我的心中某個看不見的領域……爲了蒂蒂而存在的領域……
「這要怎麼看？」我問。
「沒問題的，學長，話說回來，P<9>是29種吧？」蒂蒂把筆記本對着我們打開。
「學長當時放學後都會到圖書間去吧，校慶之後，因爲想要更接近學長，我也開始會去圖書間……我就在圖書間的角落看書，但是學長都一直忙着計算，完全沒注意到我，也因爲這樣，那年冬天我獲得了最常利用圖書間的獎。」
「啊～～學長的心裏有沒有我的位置呢……」